Odluka o donošenju kurikuluma za nastavni predmet Matematike za osnovne škole i gimnazije u Republici Hrvatskoj

Odluka o donošenju kurikuluma za nastavni predmet Matematike za osnovne škole i gimnazije u Republici Hrvatskoj Upute za korištenje Elektronička pošta Početna stranica Odluka o donošenju kurikuluma za nastavni predmet Matematike za osnovne škole i gimnazije u Republici Hrvatskoj NN 7/2019 (22.1.2019.), Odluka o donošenju kurikuluma za nastavni predmet Matematike za osnovne škole i gimnazije u Republici Hrvatskoj MINISTARSTVO ZNANOSTI I OBRAZOVANJA 146 Na temelju članka 27. stavka 9. Zakona o odgoju i obrazovanju u osnovnoj i srednjoj školi (»Narodne novine«, broj: 87/08, 86/09, 92/10, 105/10 – ispravak, 90/11, 16/12, 86/12, 94/13, 152/14, 7/17 i 68/18) ministrica znanosti i obrazovanja donosi ODLUKU O DONOŠENJU KURIKULUMA ZA NASTAVNI PREDMET MATEMATIKE ZA OSNOVNE ŠKOLE I GIMNAZIJE U REPUBLICI HRVATSKOJ I. Ovom Odlukom donosi se kurikulum za nastavni predmet Matematika za osnovne škole i gimnazije u Republici Hrvatskoj. II. Sastavni dio ove Odluke je kurikulum nastavnog predmeta Matematika. III. Početkom primjene ove Odluke stavlja se izvan snage: – Nastavni plan i program za osnovnu školu koji se odnosi na predmet Matematika objavljen u »Narodnim novinama«, broj: 102/06, – Nastavni plan i program za stjecanje školske spreme u programima jezične, klasične i prirodoslovno-matematičke gimnazije koji se odnosi na predmet Matematika, a donesen je Odlukom o zajedničkom i izbornom dijelu programa za stjecanje srednje školske spreme u programima opće, jezične, klasične i prirodoslovno-matematičke gimnazije, klasa: 602-03/94-01-109, urbroj: 532-02-2/1-94-01, Zagreb, 2. ožujka 1994. (Glasnik Ministarstva kulture i prosvjete, 1994.), – Nastavni plan i program prirodoslovne gimnazije koji se odnosi na predmet Matematika, a koji je donesen Odlukom o nastavnom planu i programu prirodoslovne gimnazije, klasa: UP/I-602-03/03-01/0115, urbroj: 532-02-02-01/2-03-2 od 2. prosinca 2003. godine. IV. Ova Odluka stupa na snagu osmoga dana od dana objave u »Narodnim novinama«, a primjenjuje se za učenike 1. i 5. razreda osnovne škole i 1. razreda gimnazije od školske godine 2019./2020., za učenike 2., 3., 6. i 7. razreda osnovne škole, 2. i 3. razreda gimnazije od školske godine 2020./2021., a za učenike 4. i 8. razreda osnovne škole i 4. razreda gimnazije od školske godine 2021./2022. Klasa: 602-01/19-01/00026 Urbroj: 533-06-19-0009 Zagreb, 14. siječnja 2019. Ministrica prof. dr. sc. Blaženka Divjak, v. r. KURIKULUM NASTAVNOG PREDMETA MATEMATIKA ZA OSNOVNE ŠKOLE I GIMNAZIJE A. SVRHA I OPIS PREDMETA Brzi razvoj suvremenoga društva, kojemu je uvelike pridonijela i primjena matematike u svim njegovim područjima, ukazuje na važnost učenja matematike. Matematika je jedan od čimbenika tehnološkoga napretka društva, a time i važan element poboljšanja kvalitete življenja. Matematika ima vrijednost i intelektualnu ljepotu, bogata je i poticajna. Zaokuplja i privlači ljude svih dobnih skupina, raznolikih interesa i sposobnosti. Igrala je i igra važnu ulogu u napretku društva u prošlosti, sadašnjosti i budućnosti. Važna je za svakodnevni život te je nužna za razumijevanje svijeta koji nas okružuje i za upravljanje vlastitim životom. Učenje i poučavanje matematike omogućuje razvoj matematičkih znanja i vještina kojima će se učenici koristiti u osobnome, društvenome i profesionalnome životu. Matematička pismenost prepoznata je kao jedan od važnih preduvjeta za razvoj životnih vještina pojedinca, primjenu matematičkih strategija, cjeloživotno učenje, otvorenost za uporabu novih tehnologija te ostvarivanje vlastitih potencijala. Učenje i poučavanje predmeta Matematika potiče kreativnost, preciznost, sustavnost, apstraktno mišljenje i kritičko promišljanje koje pomaže pri uočavanju i rješavanju problema iz svakodnevice i društvenoga okružja. Učenje i poučavanje nastavnoga predmeta Matematika ostvaruje se povezivanjem matematičkih procesa i domena. Ta dvodimenzionalnost očituje se u ishodima i doprinosi stjecanju matematičkih kompetencija. Matematički su procesi: prikazivanje i komunikacija, povezivanje, logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje, rješavanje problema i matematičko modeliranje te primjena tehnologije. Domene predmeta Matematika jesu: Brojevi, Algebra i funkcije, Oblik i prostor, Mjerenje te Podatci, statistika i vjerojatnost. Svijest pojedinca o posjedovanju kompetencija za rješavanje, i osobnih i problemskih situacija u zajednici, daje mu mogućnost za djelovanje, potiče ga da bude koristan i odgovoran za napredak osobnoga, radnoga i socijalnoga okružja. Kako bi se u učenika postiglo razumijevanje matematičkih pojmova, procesa i koncepata, razvila kreativnost i sposobnost apstrahiranja, potrebno je poučavati od konkretnih, njima bliskih situacija k apstraktnomu modeliranju i opisivanju. Uostalom, i začetci matematike i matematičkoga načina razmišljanja proizišli su iz proučavanja pojava u prirodi, ljudskoga djelovanja u arhitekturi, umjetnosti, tehnologiji te potrebe da se to objasni. Poučavanje matematike tijekom školovanja je strukturirano, pa se velika pozornost posvećuje postupnosti u prihvaćanju i usvajanju matematičkih znanja te uspostavljanju veza među njima. Takav pristup učenju i poučavanju matematike omogućuje svakomu učeniku pronalaženje osobnoga puta prema razvoju i primjeni matematičkoga razmišljanja. Učeći matematiku, učenici postaju svjesni vrijednosti vlastitih matematičkih kompetencija te su motivirani da ih i dalje aktivno razvijaju, izgrađuju i primjenjuju, kako u matematici, tako i u ostalim područjima učenja i života. Matematičke se kompetencije neprestano razvijaju putem uravnoteženog preplitanja matematičkih procesa i domena predmeta Matematika, ali i putem drugih područja odgoja i obrazovanja te tijekom svih faza školovanja. Time je matematici osigurana stalna prisutnost i važna uloga u odgoju i obrazovanju učenika, stjecanju znanja i razvoju vještina i stavova. Na učiteljima je, ali i na učenicima, velika odgovornost za ostvarivanje načela kurikuluma, koji teži razvoju vrijednosti i temeljnih kompetencija učenika. Dobro i pravodobno usvojeni matematički koncepti potiču razumijevanje i snalaženje u različitim područjima kurikuluma. Isto tako, mnogi koncepti usvojeni u drugim područjima i drukčijim pristupom obogaćuju učenje i poučavanje u predmetu Matematika. Takvim načinom, stalnim korelacijama i integracijom unutar kurikuluma tijekom cijeloga školovanja učenici matematiku prihvaćaju kao dio okružja, a matematičke kompetencije primjenjuju u različitim aspektima učenja i života. B. ODGOJNO-OBRAZOVNI CILJEVI UČENJA I POUČAVANJA PREDMETA Učenici će temeljem usvojenih matematičkih znanja, vještina i procesa: – primijeniti matematički jezik u usmenome i pisanome izražavanju, strukturiranju, analizi, razumijevanju i procjeni informacija upotrebljavajući različite načine prikazivanja matematičkih ideja, procesa i rezultata u matematičkome kontekstu i stvarnome životu – samostalno i u suradničkome okružju matematički rasuđivati logičkim, kreativnim i kritičkim promišljanjem i povezivanjem, argumentiranim raspravama, zaključivanjem, provjeravanjem pretpostavki i postupaka te dokazivanjem tvrdnji – rješavati problemske situacije odabirom relevantnih podataka, analizom mogućih strategija i provođenjem optimalne strategije te preispitivanjem procesa i rezultata, po potrebi uz učinkovitu uporabu odgovarajućih alata i tehnologije – razviti samopouzdanje i svijest o vlastitim matematičkim sposobnostima, upornost, poduzetnost, odgovornost, uvažavanje i pozitivan odnos prema matematici i radu općenito – prepoznati povijesnu, kulturnu i estetsku vrijednost matematike njezinom primjenom u različitim disciplinama i djelatnostima kao i neizostavnu ulogu matematike u razvoju i dobrobiti društva. C. STRUKTURA – MATEMATIČKI PROCESI I DOMENE KURIKULUMA NASTAVNOGA PREDMETA MATEMATIKA Matematički procesi kurikuluma nastavnoga predmeta Matematika Matematički su procesi važni na svim razinama obrazovanja te prožimaju sve domene kurikuluma nastavnoga predmeta Matematika. Organizirani su u pet skupina: – prikazivanje i komunikacija – povezivanje – logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje – rješavanje problema i matematičko modeliranje – primjena tehnologije. Prikazivanje i komunikacija Učenici smisleno prikazuju matematičke objekte, obrazlažu rezultate, objašnjavaju svoje ideje i bilježe postupke koje provode. Pritom se koriste različitim prikazima: riječima, crtežima, maketama, dijagramima, grafovima, listama, tablicama, brojevima, simbolima i slično. U danoj situaciji odabiru prikladan prikaz, povezuju različite prikaze i prelaze iz jednoga na drugi. Prikupljaju i tumače informacije iz raznovrsnih izvora. Razvijanjem sposobnosti komuniciranja u matematici i o matematici učenici se koriste jasnim matematičkim jezikom, razumiju njegov odnos prema govornome jeziku, slušaju i razumiju matematičke opise i objašnjenja drugih te razmjenjuju i sučeljavaju svoje ideje, mišljenja i stavove. Uspješna komunikacija doprinosi lakšemu i bržemu usvajanju novih sadržaja i kurikuluma nastavnoga predmeta Matematika, ali i kurikuluma ostalih nastavnih predmeta. Povezivanje Učenici uspostavljaju i razumiju veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, prikazima i postupcima te oblikuju cjeline njihovim nadovezivanjem. Uspoređuju, grupiraju i klasificiraju objekte i pojave prema zadanome ili izabranome kriteriju. Povezuju matematiku s vlastitim iskustvom, prepoznaju je u primjerima iz okoline i primjenjuju u drugim područjima kurikuluma. Time ostvaruju jasnoću, pozitivan stav i otvorenost prema matematici te povezuju matematiku sa sadržajima ostalih predmeta i životom tijekom procesa cjeloživotnoga učenja. Logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje Učenje matematike karakterizira razvoj i njegovanje logičkoga i apstraktnoga mišljenja. Poučavanjem i učenjem nastavnoga predmeta Matematika učenici se suočavaju s izazovnim problemima koji ih potiču na promišljanje, argumentiranje i dokazivanje te donošenje samostalnih zaključaka. Učenici postavljaju matematici svojstvena pitanja te stvaraju i istražuju na njima zasnovane matematičke pretpostavke, uočene pravilnosti i odnose. Stvaraju i vrednuju lance matematičkih argumenata, zaključuju indukcijom i dedukcijom, analiziraju te primjenjuju analogiju, generalizaciju i specijalizaciju. Primjenjuju poznato u nepoznatim situacijama i prenose učenje iz jednoga konteksta u drugi. Razvijaju kritičko mišljenje te prepoznaju utjecaj ljudskih čimbenika i vlastitih uvjerenja na zaključivanje. Proces mišljenja razvijen nastavom matematike učinkovito primjenjuju u svome svakodnevnom životu. Rješavanje problema i matematičko modeliranje Učenici analiziraju problemsku situaciju, prepoznaju elemente koji se mogu matematički prikazati i planiraju pristup za njezino rješavanje odabirom odgovarajućih matematičkih pojmova i postupaka. Odabiru, osmišljavaju i primjenjuju razne strategije, rješavaju problem, promišljaju i vrednuju rješenje te ga prikazuju na prikladan način. Razvojem ovoga procesa, osim primjene matematičkih znanja, učenici razvijaju upornost, hrabrost i otvorenost u suočavanju s novim i nepoznatim situacijama. Primjena tehnologije Korištenje alatima i tehnologijom pomaže učenicima u matematičkim aktivnostima u kojima su u središtu zanimanja matematičke ideje, pri provjeravanju pretpostavki, pri obradi i razmjeni podataka i informacija te za rješavanje problema i modeliranje. Učenici uočavaju i razumiju prednosti i nedostatke tehnologije. Na taj se način prirodno otvaraju mogućnosti za nove ideje, za dublja i drukčija matematička promišljanja, kao i za nove oblike učenja i poučavanja. Domene kurikuluma nastavnoga predmeta Matematika Početak i razvoj matematike temelji se na velikim matematičkim idejama kao što su broj, oblik, struktura i promjena. Oko tih ideja grade se matematički koncepti i razvijaju grane matematike. Usvajanje tih koncepata važno je za razumijevanje informacija, procesa i pojava u svijetu koji nas okružuje. Srodni koncepti grupirani su u domene Brojevi, Algebra i funkcije, Oblik i prostor, Mjerenje i Podatci, statistika i vjerojatnost, koje proizlaze iz domena matematičkoga područja kurikuluma. Domene se postupno razvijaju i nadograđuju cijelom vertikalom učenja i poučavanja matematike, a udio pojedine domene u godinama učenja prilagođen je razvojnim mogućnostima učenika i potrebi sustavne izgradnje cjelovitoga matematičkog obrazovanja. Domene koje obuhvaćaju pojmove poput broja i oblika istaknutije su u ranijim godinama učenja, dok su u kasnijim godinama učenja zastupljenije domene složenijih matematičkih koncepata, poput funkcija ili vjerojatnosti. Na razini pojedine godine učenja i poučavanja za svaku su domenu iskazani odgojno-obrazovni ishodi, jasni i nedvosmisleni iskazi očekivanja od učenika. Premda domene povezuju srodne koncepte, njihova se nedjeljivost stalno primjećuje jer je usvojenost koncepata jedne domene često pretpostavka usvajanju koncepata u drugim domenama. Tom povezanošću matematika se spoznaje kao logična i zaokružena cjelina. Cjelovitim pristupom usvajanju koncepata svih domena stječu se matematička znanja i vještine i razvijaju matematičke kompetencije koje podrazumijevaju prikazivanje i komuniciranje matematičkim jezikom, logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje, matematičko modeliranje i rješavanje problema te uporabu tehnologije. Važno je naglasiti da se odabirom primjerenih strategija poučavanja te kreativnim načinima izvedbe nastavnoga procesa može uvelike utjecati na razinu usvojenosti znanja i stjecanje vještina i stavova. U svim domenama matematika se povezuje sa stvarnim situacijama, a njezina svakodnevna primjena čini je važnom i nezamjenjivom za razvoj društva u cjelini. Brojevi U domeni Brojevi učenici postupno usvajaju apstraktne pojmove kao što su broj, brojevni sustav i skup te razvijaju vještinu izvođenja aritmetičkih postupaka. Brojiti i računati započinje se u skupu prirodnih brojeva s nulom. Postupno se upoznaju skupovi cijelih, racionalnih, iracionalnih, realnih i kompleksnih brojeva. Razvija se predodžba o brojevima, povezuju njihove različite interpretacije te se uporabom osnovnih svojstava i međusobnih veza računskih operacija usvaja vještina učinkovitoga i sigurnoga računanja. Tijekom cijelog obrazovanja, odabirom prikladnoga načina računanja, procjenjujući i preispitujući smislenost rezultata, rješavaju se matematički problemi i problemi iz svakodnevnoga života, uz mogućnost uporabe različitih metoda i tehnologije u svrhu efikasnosti i točnosti. Koncepti iz domene Brojevi osnova su svim ostalim matematičkim konceptima i na njima se gradi daljnje učenje matematike, a učenici će te koncepte u budućnosti svakodnevno upotrebljavati u osobnome, radnome i društvenome okružju. Algebra i funkcije Algebra je jezik za opisivanje pravilnosti u kojemu slova i simboli predstavljaju brojeve, količine i operacije, a varijable se upotrebljavaju pri rješavanju matematičkih problema. U domeni Algebra i funkcije učenici se služe različitim vrstama prikaza; grade algebarske izraze, tablice i grafove radi generaliziranja, tumačenja i rješavanja problemskih situacija. Uočavaju nepoznanice i rješavaju jednadžbe i nejednadžbe računski provođenjem odgovarajućih algebarskih procedura, grafički i služeći se tehnologijom kako bi otkrili njihove vrijednosti i protumačili ih u danome kontekstu. Određenim algebarskim procedurama koriste se i za primjenu formula i provjeravanje pretpostavki. Prepoznavanjem pravilnosti i opisivanjem ovisnosti dviju veličina jezikom algebre učenici definiraju funkcije koje proučavaju, tumače, uspoređuju, grafički prikazuju i upoznaju njihova svojstva. Modeliraju situacije opisujući ih algebarski, analiziraju i rješavaju matematičke probleme i probleme iz stvarnoga života koji uključuju pravilnosti ili funkcijske ovisnosti. Oblik i prostor Prostorni zor intuitivni je osjećaj za oblike i odnose među njima, a zajedno s geometrijskim rasuđivanjem razvija sposobnost misaone predodžbe objekta i prostornih odnosa. Domena Oblik i prostor dio je geometrije koji se bavi proučavanjem oblika, njihovih položaja i odnosa. Rastavljanjem i sastavljanjem oblika uspoređuju se njihova svojstva i uspostavljaju veze među njima. Iz uočenih svojstava i odnosa izvode se pretpostavke i tvrdnje koje se dokazuju crtežima i algebarskim izrazima. Koristeći se geometrijskim priborom i tehnologijom, učenici će izvoditi geometrijske transformacije, istraživati i primjenjivati njihova svojstva te razviti koncepte sukladnosti i sličnosti. Interakcijom s ostalim domenama i matematičkim argumentiranjem prostornih veza, rabeći prostorni zor i modeliranje, učenici pronalaze primjenu matematičkih rješenja u različitim situacijama. Prepoznaju ravninske i prostorne oblike i njihova svojstva u svakodnevnome okružju te ih upotrebljavaju za opis i analizu svijeta oko sebe. Mjerenje Mjerenje je uspoređivanje neke veličine s istovrsnom veličinom koja je dogovorena jedinica mjere. U domeni Mjerenje usvajaju se standardne mjerne jedinice za novac, duljinu, površinu, volumen, masu, vrijeme, temperaturu, kut i brzinu te ih se mjeri odgovarajućim mjernim uređajima i kalendarom. Procjenjivanjem, mjerenjem, preračunavanjem i izračunavanjem veličina određuju se mjeriva obilježja oblika i pojava uz razložnu i učinkovitu upotrebu alata i tehnologije. Rezultati se interpretiraju i izražavaju u jedinici mjere koja odgovara situaciji. Učenici će mjerenjem povezati matematiku s drugim odgojno-obrazovnim područjima, s vlastitim iskustvom, svakodnevnim životom u kući i zajednici te na radnome mjestu, prepoznati mjeriva obilježja ravninskih i prostornih oblika u umjetnosti te ih upotrebljavati za opis i analizu svijeta oko sebe. Podatci, statistika i vjerojatnost Domena Podatci, statistika i vjerojatnost bavi se prikupljanjem, razvrstavanjem, obradom, analizom i prikazivanjem podataka u odgovarajućemu obliku. Podatke dane grafičkim ili nekim drugim prikazom treba znati očitati te ih ispravno protumačiti i upotrijebiti. Sve se to postiže koristeći se jezikom statistike. Ona podrazumijeva uporabu matematičkoga aparata kojim se računaju mjere srednje vrijednosti, mjere raspršenja, mjere položaja i korelacije podataka. Nakon prepoznavanja veza među podatcima i promatrajući frekvencije pojavljivanja, dolazi se do pojma vjerojatnosti. Određuje se broj povoljnih i svih mogućih ishoda, procjenjuje se i izračunava vjerojatnost što nam omogućuje predviđanje događaja. Slika 1. Matematički procesi i domene kurikuluma nastavnoga predmeta Matematika D. ODGOJNO-OBRAZOVNI ISHODI, SADRŽAJI I RAZINE USVOJENOSTI PO RAZREDIMA I ORGANIZACIJSKIM PODRUČJIMA Odgojno-obrazovni ishodi kurikuluma nastavnoga predmeta Matematika opisani su sljedećim elementima: – odgojno-obrazovni ishod – razrada ishoda – odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti »dobar« na kraju razreda – sadržaji – preporuke za ostvarivanje odgojno-obrazovnih ishoda. Razina usvojenosti »dobar« odgojno-obrazovnog ishoda služi: – unapređenju procesa učenja, poučavanja i vrednovanja ponajprije učiteljima i nastavnicima u planiranju metoda učenja kojima će se potaknuti viši kognitivni procesi u učenika i dublje učenje – pomaže pri planiranju i provedbi vrednovanja, jer omogućuju jasnoću i dosljednost u interpretaciji dokaza o razvoju znanja, vještina, sposobnosti i stavova/vrijednosti učenika te su osnova za određivanje kriterija vrednovanja – učenicima i roditeljima daju jasan iskaz očekivanja, ali i mogućnost samoprocjene napretka u predmetu Matematika u različitim trenucima učenikova odgojno-obrazovnog puta. Sve razine usvojenosti (ostvarenosti) odgojno-obrazovnoga ishoda objedinjene su u metodičkom priručniku nastavnoga predmeta Matematika. Svakome odgojno-obrazovnom ishodu dodjeljuje se kratka oznaka, npr. MAT OŠ C.8.2. – MAT označava predmet Matematika. – OŠ označava da se ishod ostvaruje u osnovnoj školi, a SŠ u gimnaziji. – Slovčana oznaka (npr. C) označava odgovarajuću domenu predmeta Matematika: • A – Brojevi • B – Algebra i funkcije • C – Oblik i prostor • D – Mjerenje • E – Podatci, statistika i vjerojatnost. – Prva brojka (npr. 8) označava u kojem se razredu ishod ostvaruje. – Druga brojka (npr. 2) označava koji je to ishod po redu u navedenoj domeni. Osnovna škola Matematika 1. razred – 140 sati godišnje Slika 2. Grafički prikaz organizacije predmetnoga kurikuluma u prvoj godini učenja Matematika na kraju 1. razreda osnovne škole učenik: Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost odgojno-obrazovni ishodi razrada ishoda odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti »dobar« na kraju razreda MAT OŠ A.1.1. Opisuje i prikazuje količine prirodnim brojevima i nulom. Povezuje količinu i broj. Broji u skupu brojeva do 20. Prikazuje brojeve do 20 na različite načine. Čita i zapisuje brojeve do 20 i nulu brojkama i brojevnim riječima. Razlikuje jednoznamenkaste i dvoznamenkaste brojeve. Objašnjava vezu između vrijednosti znamenaka i vrijednosti broja. Korelacija s Hrvatskim jezikom i stranim jezikom. Određuje broj neposredno ispred i neposredno iza zadanoga broja, prikazuje brojeve na brojevnoj crti, razlikuje jednoznamenkaste i dvoznamenkaste brojeve. Sadržaj: Skup prirodnih brojeva do 20 i nula. Brojka, znamenka, brojevna riječ. Brojevna crta. Prethodnik i sljedbenik. Jednoznamenkasti i dvoznamenkasti brojevi. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Važno je da učenici na konkretima spoznaju pojam broja kako se brojenje ne bi svelo na mehaničko izgovaranje brojevnih riječi bez razumijevanja njihovih značenja. Brojeve, uz konkrete, mogu prikazivati i crtežima (u početku pripremljenim ilustracijama). S pomoću konkreta osvješćuje se i da svaki sljedeći broj nastaje dodavanjem broja 1 prethodnomu broju. Na brojevnoj crti spoznat će prethodnik i sljedbenik (broj neposredno ispred i neposredno iza) određenoga broja te brojeve koji se nalaze između pojedinih brojeva. Učenici brojeve prikazuju na unaprijed pripremljenim brojevnim crtama. Postupno se spoznaje brojenje unaprijed i unatrag (redom i od zadanoga broja) te brojenje zadanim korakom počevši po 2 i 5 redom (po 2: 2, 4, 6…) i od zadanoga broja, (od broja 3 broje po 2: 3, 5, 7…). U početnome brojenju mogu se služiti i prstima. Deseticu možemo prikazati različitim skupinama od deset jedinica. Zornim primjerima učenicima se prikazuju brojevi na različite načine (skupovima, rastavljanjem na desetice i jedinice, rastavljanjem na zbroj različitih pribrojnika) kako bi osvijestili mogućnost različitih prikaza istoga broja. Na temelju iskustva učenika postupno se upoznaju znamenke kojima se zapisuju brojevi (od nula do devet), koristeći se jezikom izvorne stvarnosti, jezikom modela, jezikom slike, govornim jezikom i jezikom matematičkih znakova. U prvome razredu ne vrednuje se primjena riječi znamenka, brojka ili brojevna riječ. MAT OŠ A.1.2. Uspoređuje prirodne brojeve do 20 i nulu. Određuje odnos među količinama riječima: više manje – jednako. Određuje odnos među brojevima riječima: veći manji – jednak. Čita, zapisuje i tumači znakove <, > i = pri uspoređivanju prirodnih brojeva do 20. Reda brojeve po veličini. Uspoređuje brojeve znakovima uspoređivanja: >, < i =. Sadržaj: Uspoređivanje prirodnih brojeva do 20 i nule. Jednakost i nejednakost. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Pojmovi više, manje, jednako spoznaju se postupno. Započinje se uspoređivanjem skupova konkretnih predmeta, a potom se svakomu skupu pridružuje broj koji prikazuje koliko članova ima pa se ti brojevi uspoređuju. Važno je uočiti da se količine uspoređuju riječima: više manje, dok se brojevi uspoređuju riječima: veći manji. U početku zapisujemo odnos brojeva riječima je veći od, je manji od i jednako je, a tek na kraju učenike upoznajemo s matematičkim zapisom – znakovima nejednakosti i jednakosti. Potrebno je paziti da se znakovi >, < i = stavljaju između brojeva, a ne između ilustracija. Cilj je da učenici shvate odnos dvaju brojeva, stoga ne treba pretjerivati s uporabom tih znakova u uzastopnim nejednakostima. MAT OŠ A.1.3. Koristi se rednim brojevima do 20. Čita i zapisuje redne brojeve. Uočava redoslijed i određuje ga rednim brojem. Razlikuje glavne i redne brojeve. Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom. Rednim brojevima prikazuje redoslijed i određuje prvoga i posljednjega u redu. Sadržaj: Redni brojevi do 20. Glavni i redni brojevi. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Na konkretnim primjerima odrediti mjesto u redu, nizu i sl., pravilno izgovarati, zapisati i čitati redni broj te razlikovati glavne i redne brojeve. Dobro je što češće postavljati pitanja Koji po redu? i Koliko ih ima? u konkretnim primjerima kako bi učenici razumjeli razliku između rednih i glavnih brojeva te kako bi osvijestili kada ih upotrebljavati. MAT OŠ A.1.4. MAT OŠ B.1.1. Zbraja i oduzima u skupu brojeva do 20. Zbraja i oduzima brojeve do 20. Računske operacije zapisuje matematičkim zapisom. Imenuje članove u računskim operacijama. Primjenjuje svojstva komutativnosti i asocijativnosti te vezu zbrajanja i oduzimanja. Određuje nepoznati broj u jednakosti. Zbraja i oduzima uz poneku pogrešku, rabi zamjenu mjesta i združivanje pribrojnika te vezu zbrajanja i oduzimanja zapisujući četiri jednakosti. Sadržaj: Zbrajanje i oduzimanje u skupu brojeva do 20. Zamjena mjesta pribrojnika. Združivanje pribrojnika. Veza zbrajanja i oduzimanja (četiri jednakosti). Određivanje nepoznatoga broja u jednakosti primjenom veze zbrajanja i oduzimanja. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Uvod u zbrajanje i oduzimanje ostvaruje se s pomoću konkreta i primjera iz neposredne okoline povezujući zbrajanje s riječi više, a oduzimanje s riječi manje. Rabe se primjeri u kojima će učenici povezivati zbrajanje brojeva s izrazima više od, i, ukupno ili za toliko više, a oduzimanje s riječima manje od, za toliko manje. Prije prelaska na matematički zapis učenici povezuju račun i rješenje s izrazima je, jednako, jednako je ili je jednako. Kad je ovaj proces potpuno jasan, prelazi se na matematički zapis u kojemu se koriste znakovima + (više ili plus), – (manje ili minus) i = (je, jednako, jednako je, je jednako). Osobito je važno osvješćivati znak = koji prikazuje jednakost lijeve i desne strane. Iako obično čitamo slijeva na desno, u jednakosti 4 + 2 = 6 može se reći i zapisati da je 6 jednako 4 + 2. Nakon skupovnoga pristupa zbraja se i oduzima i pristupom brojenja koji pokazujemo na brojevnoj crti. Važno je poticati automatizaciju zbrajanja i oduzimanja do 20 jer to je kasnije osnova za mentalno i pisano računanje s većim brojevima. Učenici trebaju upoznati nazive za članove računskih operacija. U početnoj nastavi matematike učenici se upoznaju s oba naziva, i računska radnja i računska operacija, no s vremenom se teži ujednačenoj uporabi izraza računska operacija. Svojstvo komutativnosti učenici uočavaju na konkretnim primjerima, kao i zbrajanje triju pribrojnika, s tim da se sada ne koriste zagradama, nego se redoslijedom zbrajanja ističe svojstvo asocijativnosti (različitim združivanjima pribrojnika zbroj ostaje isti). Npr. u računu 5 + 1 + 5 lakše je združiti 5 + 5 i tomu pribrojiti 1. Primjer četiri jednakosti: 3 + 7 = 10, 7 + 3 = 10, 10 – 3 = 7, 10 – 7 = 3. Učenici se ne služe nazivima komutativnost i asocijativnost. Dodatni kod ishoda (B.1.1.) označava da se njime ostvaruju i sadržaji domene B, Algebra i funkcije (određivanje nepoznatoga broja u jednakosti primjenom veze zbrajanja i oduzimanja). MAT OŠ A.1.5. Matematički rasuđuje te matematičkim jezikom prikazuje i rješava različite tipove zadataka. Postavlja matematički problem (određuje što je poznato i nepoznato, predviđa/istražuje i odabire strategije, donosi zaključke i određuje moguća rješenja). Koristi se stečenim spoznajama u rješavanju različitih tipova zadataka (računski zadatci, u tekstualnim zadatcima i problemskim situacijama iz svakodnevnoga života). Odabire matematički zapis uspoređivanja brojeva ili računsku operaciju u tekstualnim zadatcima. Smišlja zadatke u kojima se pojavljuju odnosi među brojevima ili potreba za zbrajanjem ili oduzimanjem. Prošireni sadržaji: Rješava složenije problemske situacije i mozgalice. Matematičkim jezikom na različite načine prikazuje i rješava jednostavne brojevne izraze na temelju kojih donosi zaključke u različitim okolnostima. Sadržaj: Problemske situacije. Računski i tekstualni zadatci. Prošireni sadržaj: Složenije problemske situacije. Mozgalice. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Ovaj ishod objedinjava učenikove spoznaje o brojevima pa ih uspoređuje i računa s njima. Postupnim usvajanjem matematičkih znanja i vještina, učenici razvijaju i matematičke procese koji će se ovim ishodom još više produbiti i ostvariti. Time će se na primjeren način pripremiti učenike za rješavanje problemskih situacija u svakodnevnome životu, kao i unaprijediti njegove matematičke kompetencije za daljnje obrazovanje. Učenike se postupno uvodi u postupak rješavanja tekstualnih zadataka i problemskih situacija. Zadatak je važno pročitati s razumijevanjem, promisliti o tome što je poznato, a što se traži, promisliti kako doći do traženoga podatka i na kraju odgovoriti na postavljeno pitanje. Od samoga početka potrebno je učenike poticati da problemsku situaciju prikažu (modeliraju) slobodnim crtežima, skicama ili konkretima jer to pridonosi uspješnosti rješavanja zadataka te stvara naviku skiciranja zadatka koja će im dobro doći u složenijim problemima. Primjeri: Zadovoljavajuća razina: Od konkreta koji čine 3 i 4 jabuke zapisati matematičkim izrazom zbrajanje i izmisliti tekstualni zadatak (ili obratno: iz tekstualnoga zadatka prikazati crtežom ili konkretima i zapisati račun…). 14 – __ = 10, 3 __ 4 = 7, 13 > ___ > 11. Koja su mjesta u natjecanju osvojili učenici između 3. i 10. mjesta? Koliko škola ima učionica, ako su u prizemlju 4 učionice, a na katu je 6 učionica?... Dobra razina: Združivanje pribrojnika (2 + 6 + 8 = 2 + 8 + 6 =… ili 9 + 3 + 7 = 9 + 1 + 2 + 7 = 7 + 3 + 9 =…). Je li Matku dovoljno 10 bombona da ih podijeli na svoja 3 prijatelja i 4 prijateljice? Bi li mu bilo dovoljno bombona za dvije košarkaške momčadi po 5 igrača? Za što Matku ne bi bilo dovoljno 10 bombona?... Vrlo dobra razina: Iva je kupila bilježnicu koja košta 6 kuna i olovku koja košta 2 kune manje. Koliko je potrošila? Je li Matku dovoljno 20 bombona da ih podijeli na svojih 11 prijatelja i 9 prijateljica? Ima li tada bombon i za sebe?... Iznimna razina: Iva u knjižari kupuje školski pribor. Bilježnica stoji 6 kuna, olovka 4 kune, gumica 9 kuna i šiljilo 12 kuna. Iva ima 19 kuna. Što bi Iva mogla kupiti? Ili: Maja i Tin imaju zajedno 7 bombona. Maja ima 3 bombona više od Tina. Koliko bombona ima Tin? MAT OŠ B.1.2. Prepoznaje uzorak i nastavlja niz. Uočava uzorak nizanja. Objašnjava pravilnost nizanja. Objašnjava kriterije nizanja. Niže po zadanome kriteriju. Korelacija s Hrvatskim jezikom, Likovnom kulturom, Glazbenom kulturom, Prirodom i društvom, Tjelesnom i zdravstvenom kulturom. Nastavlja nizati jednostavne nizove. Sadržaj: Nizovi. Brojevni nizovi. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Učenici mogu uočavati pravilnosti nizanja u svakodnevnome okružju (izmjena dana i noći, dani u tjednu, prozori na školskoj zgradi, refren pjesme i slično). Zadatci u kojima se od učenika zahtijeva da nastave niz potiču logičko mišljenje, ali u njihovu osmišljavanju valja paziti da je dano dovoljno objekata u nizu kako bi se tražena pravilnost zaista mogla jedinstveno utvrditi. Dobro je zahtijevati od učenika da svojim riječima objasne po kojemu se pravilu objekti u nizu nižu. Budući da je ovaj ishod usko povezan s brojenjem, možemo od učenika tražiti i da broje po 2 počevši od broja 5. Tu je zadan samo kriterij nizanja, a oni sami moraju odrediti brojeve u nizu. Primjer zadatka u kojemu je nizanje prema kriteriju jest i zadatak u kojemu se, na primjer traži da se žuti trokut i krug te plavi pravokutnik i kvadrat slože u niz prema boji (

1. a)ili slože u niz prema obliku (b)… MAT OŠ C.1.1. Izdvaja i imenuje geometrijska tijela i likove i povezuje ih s oblicima objekata u okružju. Imenuje i opisuje kuglu, valjak, kocku, kvadar, piramidu i stožac. Imenuje ravne i zakrivljene plohe. Ravne plohe geometrijskih tijela imenuje kao geometrijske likove: kvadrat, pravokutnik, trokut i krug. Imenuje i opisuje kvadrat, pravokutnik, krug i trokut. Korelacija s međupredmetnom temom Zdravlje. Izdvaja i imenuje geometrijska tijela i likove predstavljene objektima iz neposredne okoline i didaktičkim modelima. Sadržaj: Geometrijska tijela (kugla, valjak, kocka, kvadar, piramida, stožac) i likovi (trokut, kvadrat, pravokutnik, krug). Ravne i zakrivljene plohe. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Učenje geometrije počinje upoznavanjem geometrijskih tijela jer su učenicima trodimenzionalni prostor i oblici u njemu bliski. Važno je napomenuti da upoznavanje geometrijskih tijela započinje na konkretnim modelima, a ne na crtežima, slikama, ilustracijama. Učenici tijela uzimaju u ruke, okreću ih, razgledavaju i imenuju. Iz skupa modela izdvajaju kugle ili kocke. Povezuju predmete iz okoline s geometrijskim tijelima, odnosno izdvajaju oblik predmeta (ormar, krov, lopta i slično). Tek kad su tijela zorno upoznata, prelazi se na njihove ilustracije. U prikazivanju tijela važno je paziti da ona budu prikazana u različitim položajima (ne uvijek usporedno s rubom papira). Geometrijske likove učenici upoznaju kao ravne plohe geometrijskih tijela. Tako se stvara jasna poveznica među geometrijskim objektima. Važno je naglasiti da u početku likove treba bojiti ili izrađivati i rezati iz kolažnoga papira kako bi učenik doživio cijeli lik, a ne samo njegove stranice. S učenicima je potrebno provoditi niz aktivnosti koje uključuju slaganja i razlaganja modela geometrijskih oblika te slaganja različitih slagalica geometrijskim oblicima, poput tangrama. Pritom bi slagalice najprije slagali prema zadanome predlošku, a potom bi smislene likove kreirali sami prema zadanim kriterijima. Primjer: Složi lik mačke. Pri slaganju upotrijebi 1 krug, 2 trokuta, 2 pravokutnika i 4 kvadrata. Takvim aktivnostima, učenici samostalno uočavaju odnose veličina i oblika dijelova spomenutih slagalica te im se na taj način postupno može prikazati i objasniti pojam cjeline (cijeloga) i polovine. Takvim primjerima ostvaruju se poveznice s ishodima B.1.2. i E.1.1. te se postižu dobri temelji za učenje nastavnih sadržaja viših razina (množenje, dijeljenje, statistički prikazi i slično). Učenici skiciraju/crtaju likove i predmete oblika geometrijskih tijela. MAT OŠ C.1.2. Crta i razlikuje ravne i zakrivljene crte. Razlikuje i crta ravne i zakrivljene crte. Koristi se ravnalom. Prošireni sadržaji: Razlikuje i crta otvorene, zatvorene i izlomljene crte. Korelacija s Likovnom kulturom. Crta zakrivljene i ravne crte te se koristi ravnalom pri crtanju ravnih crta. Sadržaj: Ravne i zakrivljene crte. Prošireni sadržaj: Otvorene, zatvorene i izlomljene crte. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Nakon što su učenici naučili prepoznati ravnu i zakrivljenu crtu, mogu ih povezati s bridovima geometrijskih tijela, odnosno stranicama geometrijskih likova. Pri služenju ravnalom treba imati strpljenja jer riječ je o početnoj motoričkoj vještini koja traži dosta uvježbavanja. MAT OŠ C.1.3. Prepoznaje i ističe točke. Prepoznaje istaknute točke i označava ih velikim tiskanim slovima. Određuje vrhove geometrijskih tijela i likova kao točke. Crta (ističe) točke. Korelacija s Likovnom kulturom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom. Označava i imenuje točke na ilustracijama geometrijskih tijela i likova. Sadržaj: Točka. Točka kao sjecište crta. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Prepoznati točku kao vrh na geometrijskim tijelima i likovima, odrediti točku kao sjecište crta, uočiti da se točka može istaknuti na bilo kojemu mjestu u prostoru te da točaka prema tome ima mnogo. Točku istaknuti točkom ili križićem u 1. i 2. razredu, a u 3. razredu inzistirati na njezinu isticanju samo točkom. MAT OŠ D.1.1. Analizira i uspoređuje objekte iz okoline prema mjerivu svojstvu. Prepoznaje odnose među predmetima: dulji – kraći – jednako dug, veći – manji – jednak. Određuje najdulji, najkraći, najveći, najmanji objekt. Uspoređuje, razvrstava i niže objekte prema mjerivu svojstvu. Sadržaj: Odnosi među predmetima (dulji – kraći – jednako dug, veći – manji – jednak). Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Odnosi među predmetima primjenjuju se na objekte iz svakodnevnoga života, ali i na naučena tijela i likove. Dajemo primjere duljega i kraćega konopca, veće i manje lopte... Važno je naglasiti da se predmeti uspoređuju prema istome svojstvu (viši predmet može biti manji, a niži predmet može biti veći, npr. neboder je viši, a zgrada često veća). Uz dobro odabrane primjere učenici će osvješćivati razlike među tim pojmovima. MAT OŠ D.1.2. Služi se hrvatskim novcem u jediničnoj vrijednosti kune u skupu brojeva do 20. Prepoznaje hrvatske kovanice i novčanice vrijednosti: 1 kuna, 2 kune, 5 kuna, 10 kuna i 20 kuna. Služi se kunama i znakom jedinične vrijednosti kuna. Uspoređuje vrijednosti kovanica i novčanica te računa s novcem u skupu brojeva do 20. Objašnjava svrhu i korist štednje. Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom, satom razrednika, međupredmetnim temama Poduzetništvo i Građanski odgoj i obrazovanje. Uspoređuje vrijednosti hrvatskih kovanica i novčanica od 1 kn, 2 kn, 5 kn, 10 kn i 20 kn. Sadržaj: Hrvatske kovanice i novčanice u jediničnoj vrijednosti kune u skupu brojeva do 20. Uspoređivanje vrijednosti kovanica i novčanica. Računanje s novcem u skupu brojeva do 20. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Učenik se i prije polaska u školu susreće s novcem. U svrhu financijske pismenosti i potrebe uporabe novca u stvarnome životu, učenik u prvome razredu upoznaje osnovnu jediničnu vrijednost hrvatskoga novca, kunu, s kojom može i računati u skupu brojeva do 20. Poželjno je što više koristiti se modelima novca kako bi učenici razvili vještinu služenja njime. Učenike je dobro potaknuti na štednju i uviđanje njezine koristi, kao i razumno upravljanje novcem u problemskim situacijama važnima za život (može se spomenuti i negativan utjecaj reklama u kontroliranome raspolaganju novcem). MAT OŠ E.1.1. Služi se podatcima i prikazuje ih piktogramima i jednostavnim tablicama. Određuje skup prema nekome svojstvu. Prebrojava članove skupa. Uspoređuje skupove. Prikazuje iste matematičke pojmove na različite načine (crtež, skup, piktogram i jednostavna tablica). Čita i tumači podatke prikazane piktogramima i jednostavnim tablicama. Prošireni sadržaji: Prikazivanje podataka različitih nastavnih predmeta. Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom, međupredmetnim temama Učiti kako učiti i Poduzetništvo. Čita i prikazuje podatke piktogramima. Sadržaj: Čitanje, tumačenje i prikazivanje podataka. Piktogrami i jednostavne tablice. Prošireni sadržaj: Prikazivanje podataka različitih nastavnih predmeta. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: U matematici, ali i u stvarnome životu, podatci se često prikazuju dijagramima ili tablicama. Te reprezentativne forme učenici susreću u različitim predmetima i različitim situacijama, stoga je dobro naučiti se služiti njima. U prvome razredu koristimo se samo jednostavnim primjerima, a podatci u njima moraju biti iz neposredne učenikove okoline (npr. količina/broj učitelja, dječaka i djevojčica u nekome razredu, količina/broj učenika koji imaju određenu boju očiju, količina/broj učenika koji se bave nekim hobijem...). U početku učenici te podatke slikovno (količinski) uspoređuju na crtežima, u skupovima ili piktogramima, a kasnije i brojčano u tablicama radi donošenja jednostavnih i učenicima bliskih zaključaka. Primjer piktograma: Prikazano je voće koje učenici iz jednoga razreda najviše vole. Koliko učenika najviše voli banane? Koliko naranče? Koje voće djeca najradije jedu? U tabličnim prikazima važno je ispravno se koristiti izrazima redak i stupac. Osnovna škola Matematika 2. razred – 140 sati godišnje Slika 3. Grafički prikaz organizacije predmetnoga kurikuluma u drugoj godini učenja Matematika na kraju 2. razreda osnovne škole učenik: Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost odgojno-obrazovni ishodi razrada ishoda odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti »dobar« na kraju razreda MAT OŠ A.2.1. Služi se prirodnim brojevima do 100 u opisivanju i prikazivanju količine i redoslijeda. Broji, čita i zapisuje brojkom i brojevnom riječi te uspoređuje prirodne brojeve do 100. Prikazuje brojeve na različite načine. Uočava odnose među dekadskim jedinicama (jedinice, desetice, stotice). Objašnjava odnos broja i vrijednosti pojedine znamenke. Razlikuje glavne i redne brojeve do 100. Korelacija s Hrvatskim jezikom i Prirodom i društvom. Prikazuje dvoznamenkaste brojeve u tablici mjesnih vrijednosti ili na brojevnoj crti te prikazuje odnose dekadskih jedinica, uspoređuje i upotrebljava brojeve u opisivanju količine. Sadržaj: Skup prirodnih brojeva do 100. Dekadske jedinice i mjesna vrijednost. Uspoređivanje brojeva do 100. Redni brojevi do 100. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Postupci brojenja, pravilnoga čitanja, pisanja brojkom i brojevnom riječi, uspoređivanje i prikazivanje brojeva usvaja se na konkretnim materijalima kako bi se pravilno oblikovao koncept broja. Pri uspoređivanju brojeva učenicima se prikazuje odnose i na brojevnoj crti. Povezuje se brojevna riječ, zapis broja i njegovo rastavljanje na desetice i jedinice. Potrebno je razlikovati sto i stotinu od stotice te zorno i jasno prikazati odnos stotice i 10 desetica, odnosno 100 jedinica. Učenici bi trebali razlikovati i pravilno zapisivati glavne i redne brojeve do 100. MAT OŠ A.2.2. Koristi se rimskim brojkama do 12. Nabraja osnovne i pomoćne rimske znamenke. Objašnjava pravila pisanja rimskih brojki. Rimskim znamenkama zapisuje i čita brojeve do 12. Korelacija s Hrvatskim jezikom i Prirodom i društvom. Čita i zapisuje brojeve do 12 rimskim znamenkama. Sadržaj: Rimske brojke do 12. Brojka, znamenka. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: U neposrednoj okolini uočavaju se rimske brojke (sat, kalendar). Učenike se može upoznati s povijesnim razvojem arapskih i rimskih znamenaka. MAT OŠ A.2.3. Zbraja i oduzima u skupu prirodnih brojeva do 100. Mentalno zbraja i oduzima u skupu brojeva do 100. Primjenjuje svojstvo komutativnosti te vezu među računskim operacijama. Procjenjuje rezultat zbrajanja i oduzimanja. Zbraja i oduzima više brojeva. Rješava tekstualne zadatke. Zbraja i oduzima u skupu brojeva do 100 detaljno zapisujući postupak te uz manju nesigurnost pri prijelazu desetice. Sadržaj: Zbrajanje i oduzimanje desetica. Zbrajanje dvoznamenkastih i jednoznamenkastih brojeva. Oduzimanje jednoznamenkastih brojeva od dvoznamenkastih. Zbrajanje i oduzimanje dvoznamenkastih brojeva do 100. Zbrajanje i oduzimanje više brojeva. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Zbrajanje i oduzimanje brojeva do 100 temelji se na automatizaciji zbrajanja i oduzimanja u skupu brojeva do 20 kao i na spoznaji veze zbrajanja i oduzimanja. Postupak zbrajanja i oduzimanja provodi se postupno, prvo s primjerima bez prijelaza desetice, a tek zatim s primjerima s prijelazom desetice. Uvažavajući i individualni način računanja te nakon procjene učeničke spremnosti, može se prijeći s detaljnoga zapisivanja svih koraka u postupku na kraći zapis. Poželjno je da učenici ovladaju mentalnim postupkom zbrajanja i oduzimanja brojeva do 100 i izrazima uvećaj za i umanji za te da mogu odrediti broj koji je za toliko veći ili za toliko manji od nekoga broja. Procjena rezultata razvija logičko mišljenje i preduvjet je za primjenu zbrajanja i oduzimanja u stvarnim situacijama (npr. tijekom kupnje). Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, a razumna su očekivanja na najvišoj razini. Učenicima s teškoćama u računanju može se pomoći tablicom brojeva do 100 pri čemu učenik zorno može odrediti brojeve za deset veće ili manje od zadanoga broja, kao i prethodnik i sljedbenik (učenika s teškoćom potrebno je poticati da postupno ostavi tablicu s brojevima, tj. da se njome koristi samo kada i koliko je potrebno). MAT OŠ A.2.4. Množi i dijeli u okviru tablice množenja. Množi uzastopnim zbrajanjem istih brojeva. Dijeli uzastopnim oduzimanjem istih brojeva. Množi i dijeli u okviru tablice množenja. Određuje višekratnike zadanoga broja. Određuje polovinu, trećinu, četvrtinu itd. zadanoga broja. Određuje parne i neparne brojeve. Primjenjuje svojstvo komutativnosti množenja. Primjenjuje vezu množenja i dijeljenja. Izvodi četiri jednakosti. Imenuje članove računskih operacija. Poznaje ulogu brojeva 1 i 0 u množenju i dijeljenju. Množi i dijeli brojem 10. U zadatcima s nepoznatim članom određuje nepoznati broj primjenjujući vezu množenja i dijeljenja. Rješava tekstualne zadatke. Množi i dijeli u okviru tablice množenja s manjom nesigurnošću, primjenjuje svojstvo komutativnosti i vezu množenja i dijeljenja te izvodi četiri jednakosti. Sadržaj: Množenje brojeva. Zamjena mjesta faktora. Dijeljenje brojeva. Množenje brojevima 1 i 0. Brojevi 1 i 0 u dijeljenju. Množenje i dijeljenje brojem 10. Tablica množenja. Parni i neparni brojevi. Veza množenja i dijeljenja (četiri jednakosti). Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Potrebno je postupno i zorno na različite načine usvajati množenje kao uzastopno zbrajanje istih pribrojnika te dijeljenje kao uzastopno oduzimanje istih brojeva od zadanoga broja. Učenike je potrebno poučiti i računanju partitivnim dijeljenjem (28 : 4 = (20 + 8) : 4 = 20 : 4 + 8 : 4 =…) kako bi postupak dijeljenja lakše usvajali te istodobno i prihvaćali matematičke zakonitosti. Svojstvo komutativnosti te veza množenja i dijeljenja u računanju primjenjuju se kao pomoć. Učenici se poučavaju kako odrediti broj koji je nekoliko puta veći od zadanoga broja i nekoliko puta manji od zadanoga broja, određuju višekratnike (trokratnik, četverokratnik…) brojeva u okviru tablice množenja te se snalaze u samoj tablici. Dovoljno vremena valja posvetiti razlikovanju izraza uvećaj za (zbrajanje) i uvećaj nekoliko puta (množenje) te umanji za (oduzimanje) i umanji nekoliko puta (dijeljenje). Učenici će usvojiti pravilo o množenju i dijeljenju brojem 10, odrediti parne i neparne brojeve, određivati polovinu, trećinu, četvrtinu itd. nekoga broja te posebno obratiti pozornost na ulogu brojeva 1 i 0 u množenju i dijeljenju. Polovinu, trećinu, četvrtinu… učenici prepoznaju i grafički prikazuju tortnim prikazom (korelacija s E.2.1.). Upoznat će se s nazivima članova računskih operacija (u množenju učenici upoznaju hrvatsko nazivlje: čimbenici i umnožak, te internacionalno nazivlje: faktori i produkt, pri čemu kasnije valja poticati uporabu riječi faktori zbog potrebe u višim razredima; u dijeljenju to su djeljenik, djelitelj i količnik. U 2. razredu očekujemo da učenici razumiju koncept množenja i dijeljenja, da postupno usvoje tablicu množenja te da odrede u kojim se situacijama množenje i dijeljenje primjenjuje. Treba težiti automatizaciji tablice množenja. Na temelju predznanja o vezi zbrajanja i oduzimanja treba uočiti vezu množenja i dijeljenja i rješavati četiri jednakosti. Primjer: 3 · 7 = 21, 7 · 3 = 21, 21 : 3 = 7, 21 : 7 = 3. MAT OŠ A.2.5. Primjenjuje pravila u računanju brojevnih izraza sa zagradama. Rješava zadatke sa zagradama. Primjenjuje pravila u rješavanju tekstualnih zadataka. Računa sa zagradama s više od dviju računskih operacija. Sadržaj: Zadatci sa zagradama. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Zorno združivati pribrojnike na različite načine te napisati brojevni izraz koristeći se zagradama. Objasniti postupak rješavanja zadataka sa zagradama i bez njih. MAT OŠ A.2.6. Primjenjuje četiri računske operacije te odnose među brojevima. Primjenjuje usvojene matematičke spoznaje o brojevima, računskim operacijama i njihovim svojstvima u rješavanju različitih tipova zadataka u svakodnevnim situacijama. Postavlja i analizira jednostavniji problem, planira njegovo rješavanje odabirom odgovarajućih matematičkih pojmova i postupaka, rješava ga i provjerava rezultat. Sadržaj: Izvođenje više računskih operacija. Rješavanje problemskih situacija. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Učenike će se poučiti skraćenomu zapisu poznatih, nepoznatih i traženih podataka u tekstualnim zadatcima (moguće je i skicirati zadatak i postupke pri rješavanju, primjerice piktogramima, jednostavnim dijagramima te se služiti tim prikazima pri njihovu rješavanju). Učenici se trebaju osamostaljivati u postavljanju i rješavanju brojevnih izraza s više računskih operacija. Korisno je znati kada koju matematičku spoznaju možemo upotrijebiti kako bismo došli do rješenja. To je posebno važno u primjeni matematičkoga rasuđivanja izvan školskih okvira. Kako bi se ta primjena osvijestila, potrebno je zadavati raznolike zadatke, pa i problemske zadatke u kojima učenici moraju osmisliti kojom strategijom ili računskom operacijom mogu problem riješiti. Na primjer, pri uvježbavanju oduzimanja dobro je osmisliti zadatke u kojima treba primijeniti i neku drugu poznatu računsku operaciju. Na taj će način učenici osvijestiti važnost čitanja u svrhu razumijevanja i uspješnoga rješavanja zadatka. MAT OŠ B.2.1. Prepoznaje uzorak i kreira niz objašnjavajući pravilnost nizanja. Uočava pravilnosti nizanja brojeva, objekata, aktivnosti i pojava. Određuje višekratnike kao brojevni niz. Kreira nizove. Objašnjava kriterije nizanja. Korelacija s Likovnom kulturom i Prirodom i društvom. Jednostavnim riječima opisuje kriterije nizanja i nastavlja niz. Sadržaj: Nizovi. Brojevni nizovi. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Učenici mogu uočiti brojne pojave iz okružja u kojima uočavaju pravilnosti nizanja (dan – noć, godišnja doba, mjeseci u godini, prozori na školskoj zgradi i slično). Posebno su zanimljivi nizovi brojeva (niz prirodnih brojeva, višekratnici). Potrebno je poticati učenike da te uočene pravilnosti nizanja opisuju matematičkim jezikom. MAT OŠ B.2.2. Određuje vrijednost nepoznatoga člana jednakosti. Određuje vrijednost nepoznatoga člana u jednakosti i dobiveno rješenje provjerava. Primjenjuje svojstva računskih operacija. Primjenjuje veze među računskim operacijama. Prošireni sadržaji: Rabi slovo kao oznaku za broj. Određuje vrijednost nepoznatoga člana u računskome izrazu uz manju nesigurnost. Sadržaj: Određivanje vrijednosti nepoznatoga člana jednakosti. Prošireni sadržaj: Slovo kao oznaka za broj. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Poželjno je nepoznati član zapisati djeci bliskim znakom (ne nužno i ne odmah slovom, to neka bude mogućnost s učenicima iznimno visokih sposobnosti). U zadatcima s nepoznatim članom učenici mogu do rješenja doći i odbrojavanjem (pri zbrajanju i oduzimanju) ili prisjećanjem (pri množenju i dijeljenju). Učenike potičemo na pronalaženje i provjeru rješenja suprotnom računskom operacijom. Primjer 1. 25 + ☐ = 50 rješava se vezom zbrajanja i oduzimanja ☐ = 50 – 25, 25 + 25 = 50 Primjer 2. ☐ + 35 = 100 rješava se vezom zbrajanja i oduzimanja ☐ = 100 – 35, 35 + 65 = 100 Primjer 3. Primjer 4. Primjer 5. Ivan ima 30 godina. Njegov tata ima 65 godina. Koliko je Ivanov tata stariji od njega? Ili: Koliko je godina imao Ivanov tata kad se Ivan rodio? 40 +? = 65 rješava se vezom zbrajanja i oduzimanja 65 – 40 =? MAT OŠ C.2.1. Opisuje i crta dužine. Spaja točke crtama. Opisuje dužinu kao najkraću spojnicu dviju točaka. Određuje krajnje točke dužine. Crta dužinu i primjenjuje oznaku za dužinu. Određuje pripadnost točaka dužini. Određuje bridove geometrijskih tijela i stranice geometrijskih likova kao dužine. Opisuje dužinu i određuje krajnje točke dužine kao pripadne točke dužini. Sadržaj: Dužina kao najkraća spojnica dviju točaka. Krajnje točke. Stranice kvadrata, pravokutnika i trokuta. Bridovi geometrijskih tijela. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Usvojiti pojam dužine kao najkraće spojnice dviju točaka, prepoznati ju kao stranicu geometrijskoga lika, odnosno brid geometrijskoga tijela. Potrebno je poticati pravilno i uredno crtanje, imenovanje i zapis točke i dužine. Opisati međusobne odnose matematičkim jezikom. MAT OŠ C.2.2. Povezuje poznate geometrijske objekte. Opisuje plohe (strane) kocke, kvadra i piramide kao likove, bridove kao dužine, a vrhove kao točke. Opisuje stranice i vrhove trokuta, pravokutnika i kvadrata kao dužine, odnosno točke. Korelacija s međupredmetnom temom Učiti kako učiti. Povezuje odnose među geometrijskim tijelima i likovima te dužinama i točkama. Sadržaj: Povezivanje geometrijskih objekata (geometrijska tijela, geometrijski likovi, dužine i točke). Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: S učenicima je poželjno osmisliti što više aktivnosti koje uključuju slaganja i razlaganja modela geometrijskih oblika te slaganja različitih slagalica geometrijskim oblicima, poput tangrama. Pritom bi slagalice najprije slagali prema zadanome predlošku, a potom bi smislene likove kreirali sami prema zadanim kriterijima. Primjer: Složi lik dinosaura. Pri slaganju upotrijebi 3 kruga, 5 trokuta, 3 pravokutnika i 4 kvadrata. Takvim aktivnostima učenici samostalno uočavaju odnose veličina i oblika dijelova spomenutih slagalica te im se na taj način postupno može prikazati i objasniti, uz već poznat pojam cjeline (cijeloga) i polovine, i pojam četvrtine i osmine. Takvim primjerima ostvaruje se poveznica s ishodima A.2.4., B.2.1., D.2.3. i E.2.1. MAT OŠ D.2.1. Služi se jedinicama za novac. Prepoznaje hrvatske novčanice i kovanice. Poznaje odnos veće i manje novčane jedinice. Služi se jedinicama za novac i znakovima njegovih jediničnih vrijednosti. Računa s jedinicama za novac (u skupu brojeva do 100). Uspoređuje određene iznose novca prikazujući ih različitim jedinicama i modelima novca. Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom, Satom razrednika, međupredmetnim temama Poduzetništvo i Građanski odgoj i obrazovanje. Sadržaj: Jedinice za novac. Hrvatske novčanice i kovanice. Uspoređivanje jedinica za novac. Računanje s jedinicama za novac (u skupu brojeva do 100). Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Učenici će upotpuniti spoznaje o hrvatskim novčanicama i kovanicama stečenima u prvome razredu te primijeniti računanje (u skupu brojeva do 100) s vrijednostima novca u primjerima iz neposredne stvarnosti. U razredu je dobro služiti se modelima novca kako bi učenici razvili vještinu služenja njime. MAT OŠ D.2.2. Procjenjuje, mjeri i crta dužine zadane duljine. Mjeri nestandardnim mjernim jedinicama (na primjer korakom, laktom, pedljem, palcem). Poznaje jedinične dužine za mjerenje dužine i njihov međusobni odnos (metar i centimetar). Imenuje i crta dužinu zadane duljine. Mjeri dužinu pripadajućim mjernim instrumentom i zadanom mjernom jediničnom dužinom. Zapisuje duljinu dužine mjernim brojem i znakom mjerne jedinice. Duljinu dužine zapisuje matematičkim simbolima. Procjenjuje duljinu dužine i najkraće udaljenosti objekata u metrima. Računa s jedinicama za mjerenje dužine (u skupu brojeva do 100). Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom. Procjenjuje duljinu dužine te mjeri dužine i crta dužine zadane duljine. Sadržaj: Procjena i mjerenje duljine dužine. Računanje s jedinicama za mjerenje dužine (u skupu brojeva do 100). Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Pri poučavanju je potrebno razlikovati pojam dužine i duljine dužine kao njezina mjeriva svojstva (mjerimo dužinu kako bismo doznali njezinu duljinu). Svako mjerenje počinjemo uspoređivanjem predmeta po duljini riječima dulji kraći – jednako dug. Nakon toga slijede neformalni načini mjerenja – mjeri se korakom, laktom i slično. Upoznaju se standardne mjerne jedinice i njihove oznake. Kako bi se osvijestila veličina standardnih jedinica, učenike se potiče da rukama pokazuju jediničnu dužinu od jednoga metra i centimetra. Mogu na svome tijelu pronaći neku veličinu za usporedbu koja im kasnije može pomoći u procjeni (povezati na primjer udaljenost od ramena do vrha prstiju suprotne ruke s metrom, širinu prsta s centimetrom i slično). Duljina dužine zapisuje se matematičkim simbolima (mjernim brojem i jediničnom dužinom). Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, ali razumna su očekivanja na vrlo dobroj razini. MAT OŠ D.2.3. Procjenjuje i mjeri vremenski interval. Prati prolaznost vremena na satu ili štoperici. Navodi standardne mjerne jedinice za vrijeme (sekunda, minuta, sat, dan, tjedan, mjesec, godina), procjenjuje i mjeri prolaznost vremena odgovarajućim mjernim instrumentom i zapisuje duljinu vremenskoga intervala. Navodi odnose mjernih jedinica za vrijeme. Računa s jedinicama za vrijeme u skupu brojeva do 100. Korelacija s Prirodom i društvom. Procjenjuje duljinu vremenskoga intervala te mjeri vremenski interval potreban za obavljanje neke aktivnosti te se služi satom i kalendarom. Sadržaj: Procjena i mjerenje duljine vremenskoga intervala. Računanje s jedinicama za vrijeme (u skupu brojeva do 100). Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Učitelj treba zorno prikazati prolaznost vremena kao i vrijeme od 1 sekunde, 1 minute, 5 minuta, 1 sata, 1 dana, tjedan dana, mjesec dana u aktivnostima za koje je potrebno toliko vremena da se ostvare. U poučavanju, ali i radu potrebno je koristiti se instrumentima za mjerenje vremena i upoznati mjerne jedinice te ih pravilno mjeriti i računati s njima u skupu brojeva do 100. Učenicima se može dati informacija da godina ima 365/366 dana, no taj se podatak ne vrednuje. Gledanje na sat ili kalendar određivanje je trenutačnoga vremena, a nije mjerenje vremena. Mjerenje je vremena određivanje duljine nekoga intervala (od nekoga trenutka do nekoga trenutka). Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, ali razumna očekivanja su na vrlo dobroj razini. MAT OŠ E.2.1. Koristi se podatcima iz neposredne okoline. Promatra pojave i bilježi podatke o njima. Razvrstava prikupljene podatke i prikazuje ih jednostavnim tablicama ili piktogramima. Tumači podatke iz jednostavnih tablica i piktograma. Provodi jednostavna istraživanja te analizira i prikazuje podatke. Korelacija s Prirodom i društvom te međupredmetnim temama Učiti kako učiti i Poduzetništvo. Prikupljene podatke prikazuje jednostavnim tablicama i piktogramima. Sadržaj: Prikazivanje i tumačenje podataka piktogramima i jednostavnim tablicama. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Ovaj se ishod ostvaruje u različitim predmetima u kojima pratimo neke pojave i prikupljamo podatke. Učenici će unutar razrednih istraživanja o neposrednoj okolini (npr. broj električnih i plinskih kućanskih uređaja, zanimanja roditelja, dostignuća na satu tjelesne i zdravstvene kulture, broj sunčanih/kišnih dana u nekome mjesecu…) bilježiti i razvrstavati podatke te ih prikazivati neformalnim načinima (skupovi, crteži), jednostavnim tablicama ili piktogramima. Kako bi se učenici osamostalili i osjećali sigurnost i zadovoljstvo u onome što rade, prvo trebaju zajednički, potom u skupinama, a tek na kraju samostalno tumačiti podatke iz jednostavnih tablica i piktograma. Učenici ne crtaju tablice, nego dobivaju gotove tablice u kojima prikazuju podatke. MAT OŠ E.2.2. Određuje je li neki događaj moguć ili nemoguć. U različitim situacijama predviđa moguće i nemoguće događaje. Objašnjava zašto je neki događaj (ne)moguć. Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom, međupredmetnim temama Osobni i socijalni razvoj, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Zdravlje, Održivi razvoj, Građanski odgoj i obrazovanje. U složenijim situacijama razlikuje je li neki događaj moguć ili nemoguć. Sadržaj: Vjerojatnost (određivanje je li događaj moguć ili nemoguć). Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Ovaj je ishod priprema učenika za razumijevanje i primjenu pojma vjerojatnost kako bi osvijestili da neki događaj ili pojava mogu završiti različitim ishodima te kako bi se osposobili za pravilnu upotrebu riječi moguće ili nemoguće. Učitelj će s učenicima promatrati razne događaje i predviđati moguće i nemoguće događaje. Primjeri: 1. Motivacija: igra bacanja kockice. Svaki učenik baci kockicu za igru Čovječe, ne ljuti se. Ako dobije parni broj, mora navesti neki mogući događaj, a ako dobije neparni broj, navodi nemogući događaj. 2. Prije poučavanja o prometu na satu prirode i društva učenike se može pitati koja je prometna sredstva moguće/nemoguće vidjeti u okolici škole te zašto je to moguće/nemoguće vidjeti. Učenike odvesti u obilazak prometnica u školskome okružju na kojemu će potvrditi/opovrgnuti svoje pretpostavke i možda otkriti neke nove spoznaje. 3. U neprozirnoj su vrećici kugle jednake veličine, ali različitih boja: crvena, žuta i plava. Koje je boje moguće izvući? Koje boje nije moguće izvući? Osnovna škola Matematika 3. razred – 140 sati godišnje Slika 4. Grafički prikaz organizacije predmetnoga kurikuluma u trećoj godini učenja Matematika na kraju 3. razreda osnovne škole učenik: Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost odgojno-obrazovni ishodi razrada ishoda odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti »dobar« na kraju razreda MAT OŠ A.3.1. Služi se prirodnim brojevima do 10 000 u opisivanju i prikazivanju količine i redoslijeda. Broji, čita, zapisuje (brojkom i brojevnom riječi) i uspoređuje brojeve do 10 000. Prikazuje i upotrebljava troznamenkaste i četveroznamenkaste brojeve. Koristi se tablicom mjesnih vrijednosti. Služi se dekadskim sustavom brojeva. Rastavlja broj na zbroj višekratnika dekadskih jedinica. Određuje mjesne vrijednosti pojedinih znamenaka. Korelacija s Hrvatskim jezikom i Prirodom i društvom. Broji po redu od zadanoga broja te brojeve do 10 000 uspoređuje i prikazuje u tablici mjesnih vrijednosti. Sadržaj: Skup prirodnih brojeva do 10 000. Tablica mjesnih vrijednosti. Uspoređivanje brojeva do 10 000. Rastavljanje broja na zbroj višekratnika dekadskih jedinica. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Kako brojenje ne bi bilo samo formalno, puko izgovaranje brojevnih riječi, treba upućivati na ulogu brojenja (brojenjem doznajemo količinu, broj pridružen skupu odgovara ukupnomu broju elemenata). Postupak uspoređivanja brojeva do 10 000 skratiti određivanjem vrijednosti tisućica (potom stotica, desetica, odnosno jedinica). Pri uspoređivanju brojeva potrebno je ići induktivnim putem tako da različitim primjerima navodimo učenike da sami uoče pravila za uspoređivanje višeznamenkastih brojeva. Zbog korelacije s drugim predmetima, skup brojeva proširen je na 10 000, pri čemu je prvo potrebno dobro usvojiti brojeve do 1000. Tek potom se za potrebe koreliranja s drugim predmetima skup brojeva proširuje do 10 000 (npr. planirati u 2. polugodištu). MAT OŠ A.3.2. Zbraja i oduzima u skupu prirodnih brojeva do 1000. Određuje mjesnu vrijednost znamenaka u troznamenkastome broju. Mentalno zbraja i oduzima brojeve do 1000. Primjenjuje svojstvo komutativnosti i vezu zbrajanja i oduzimanja. Procjenjuje rezultat zbrajanja i oduzimanja. Mentalno i pisano zbraja i oduzima u skupu brojeva do 1000 uz povremene pogreške. Pisano zbraja i oduzima primjenjujući odgovarajući matematički zapis. Imenuje članove računskih operacija. Rješava tekstualne zadatke. Sadržaj: Zbrajanje i oduzimanje u skupu prirodnih brojeva do 1000. Mentalno zbrajanje i oduzimanje brojeva u skupu brojeva do 1000. Veza zbrajanja i oduzimanja. Pisano zbrajanje i oduzimanje u skupu brojeva do 1000. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Zbrajanje i oduzimanje brojeva do 1000 temelji se na predznanju i automatiziranome zbrajanju i oduzimanju u skupu brojeva do 20 i 100 te na vezi između zbrajanja i oduzimanja. Kako bi se potaknule i razvile misaone mogućnosti, učenika valja neprestano poticati na procjenu rezultata te provjeru rješenja i vještinu mentalnoga računanja (po potrebi rastavljanjem broja na zbroj višekratnika dekadskih jedinica ili zapisivanjem djelomičnih rezultata). Kad to okolnosti dopuštaju, uvježbavanje mentalnoga zbrajanja i oduzimanja moguće je i primjenom edukativnih računalnih igara i dr. Potrebno je koristiti se različitim situacijama i zadatcima u kojima treba primjenjivati zbrajanje i oduzimanje. Tek kad je dobro usvojen postupak zbrajanja i oduzimanja rastavljanjem, može se prijeći na pisani postupak zbrajanja i oduzimanja. Pisano zbrajanje i oduzimanje usvaja se postupno primjenom brojevnih kartica, tablice mjesnih vrijednosti i pravilnoga matematičkog zapisa. Iako su učenici u 3. razredu usvojili brojevni niz do 10 000, računaju u skupu brojeva do 1000. MAT OŠ A.3.3. Dijeli prirodne brojeve do 100 s ostatkom. Dijeli brojeve do 100 s ostatkom. Provjerava rješenje pri dijeljenju s ostatkom. Rješava tekstualne zadatke. Dijeli s ostatkom uz manju nesigurnost. Sadržaj: Dijeljenje brojeva do 100 s ostatkom. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Pri upoznavanju dijeljenja s ostatkom u početku valja zadavati i zadatke sadržajno utemeljene u svakodnevici kako bi učenici pojam ostatka usvojili na razumljiv način. MAT OŠ A.3.4. Pisano množi i dijeli prirodne brojeve do 1000 jednoznamenkastim brojem. Primjenjuje odgovarajući matematički zapis pisanoga množenja i dijeljenja. Primjenjuje svojstva računskih operacija (komutativnost i distributivnost). Primjenjuje veze između računskih operacija. Množi i dijeli broj brojevima 10, 100 i 1000. Pisano dijeli na duži i kraći način. Pisano množi. Dijeli jednoznamenkastim brojem na duži način. Sadržaj: Pisano množenje i dijeljenje prirodnih brojeva do 1000 jednoznamenkastim brojem. Množenje zbroja brojem. Množenje i dijeljenje broja s 10, 100 i 1000. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Postupnost: množiti i dijeliti zbroj brojem, množiti i dijeliti u tablici mjesnih vrijednosti te množiti i dijeliti izvan tablice pravilnim matematičkim zapisom. Poučiti učenike procjenjivati rezultat, množiti i dijeliti broj s 10, 100 i 1000. Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, a razumna očekivanja su na najvišoj razini. Postupak pisanoga dijeljenja uvodi se na dva načina, na dulji način (s potpisivanjem djelomičnoga umnoška) ili na kraći način. Ipak, preporučuje se da, ako učenici mogu prijeći na kraći način, to i rade kako bi se sam postupak skratio. Učenici dijeljenje brojeva zapisuju i kosom ili ravnom crtom koju čitaju podijeljeno kako bi spoznali da se znak dijeljenja može prikazati i na druge načine (ne spominje se pojam razlomka). MAT OŠ A.3.5. Izvodi više računskih operacija. Određuje vrijednosti izraza sa zagradama. Određuje vrijednosti izraza s više računskih operacija. Primjenjuje svojstva računskih operacija (komutativnost, asocijativnost i distributivnost). Primjenjuje veze među računskim operacijama. Imenuje članove računskih operacija. Rješava različite vrste zadataka. Rješava zadatke s više računskih operacija i sa zagradama. Sadržaj: Izvođenje više računskih operacija (sa zagradama i bez zagrada). Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Postupno uvoditi učenike u rješavanje zadataka u kojima se pojavljuju zagrade i više računskih operacija. MAT OŠ A.3.6. Primjenjuje četiri računske operacije i odnose među brojevima u problemskim situacijama. Primjenjuje stečene matematičke spoznaje o brojevima, računskim operacijama i njihovim svojstvima u rješavanju svakodnevnih problemskih situacija. Korelacija s međupredmetnim temama Osobni i socijalni razvoj, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Održivi razvoj i Građanski odgoj i obrazovanje. Primjenjuje četiri računske operacije u rješavanju jednostavnih problemskih situacija iz neposredne okoline. Sadržaj: Primjena računskih operacija i odnosa među brojevima u rješavanju problemskih situacija. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Između ostaloga, prikazivati i računati polovine, trećine… nekoga broja. MAT OŠ B.3.1. Rješava zadatke s jednim nepoznatim članom koristeći se slovom kao oznakom za broj. Koristi se slovom kao oznakom za broj. Uvrštava zadani broj umjesto slova. Određuje vrijednost nepoznatoga člana jednakosti/nejednakosti. Primjenjuje svojstva računskih operacija. Primjenjuje veze među računskim operacijama. Uz manju pomoć izračunava vrijednost nepoznatoga člana u jednakosti i provjerava točnost dobivenoga rješenja. Sadržaj: Određivanje vrijednosti nepoznatoga člana jednakosti i nejednakosti. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Primjeri zadataka: Izračunaj vrijednost izraza 234 + a ako je a = 48. Izračunaj b ako je 780 – b = 89 → b = 780 – 89. Odredi sve troznamenkaste brojeve c za koje vrijedi 694 > c > 688. Zapiši matematičkim znakovima račun i izračunaj nepoznati član ako je djeljenik 63, a količnik 9. 63 : ☐ = 9, 63 : 7 = 9, ☐ = 7 jer je 7 ∙ 9 = 63 Račun zapiši matematičkim znakovima tako da umjesto ☐ upotrijebiš slovo a. 63 : a = 9, 63 : 7 = 9, a = 7 jer je 7 ∙ 9 = 63 Koji faktor množimo brojem 5 kako bi njihov umnožak bio 35? ? ∙ 5 = 35 Račun zapiši tako da umjesto upitnika upotrijebiš slovo b, x, z… b ∙ 5 = 35, 7 ∙ 5 = 35, b = 7 Ivan štedi za nove slušalice koje koštaju 136 kn. Koliko mu kuna još nedostaje ako je do sada uštedio 94 kune? 94 + s = 136 rješava se vezom zbrajanja i oduzimanja. s = 136 – 94, s = 42 MAT OŠ C.3.1. Opisuje i crta točku, dužinu, polupravac i pravac te njihove odnose. Crta i označava točke i dužine. Upoznaje pravac kao neograničenu ravnu crtu. Crta i označava pravac i polupravac. Crta dužinu kao dio pravca i ističe njezine krajnje točke. Određuje i crta pripadnost točaka pravcu. Opisuje i crta pravac i njegove dijelove. Sadržaj: Pravac, polupravac i dužina kao dijelovi pravca. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Pojam pravca usvaja se neograničenim (zornim) produljivanjem crte preko krajnjih točaka dužine kako bi učenici na taj način razlikovali prikaz pravca od pojma pravca. Pri upoznavanju pravca jako je bitno naglasiti da se pravac ne može cijeli nacrtati, nego da je ravna crta kojom ga prikazujemo samo dogovoreni način prikazivanja pravca. Paziti da učenici ne poistovjete prikaz pravca s njegovim značenjem. Kako bismo to izbjegli, možemo im postaviti zadatak: Pripada li točka T pravcu p? Pravac i polupravac potrebno je pravilno crtati, označavati i imenovati. S obzirom na već razvijenu grafomotoriku učenika, točku, umjesto križićem i točkom, označavaju samo točkom. MAT OŠ C.3.2. Prepoznaje i crta pravce u različitim međusobnim odnosima. Crta pravac i njegove dijelove. Crta usporedne pravce i pravce koji se sijeku (uključujući okomite). Pravcima koji se sijeku određuje sjecište. Primjenjuje matematičke oznake za okomitost i usporednost dvaju pravaca. Opisuje i crta međusobne odnose pravaca uz manju nesigurnost. Sadržaj: Pravci koji se sijeku. Crtanje usporednih i okomitih pravaca. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Međusobne odnose pravaca potrebno je crtati precizno i uredno te pravilno zapisivati matematičkim jezikom. Crtanje okomitih i usporednih pravaca primjenjuje se pri crtanju tablica za prikaz različitih podataka, za crtanje tablica mjesnih vrijednosti, geometrijskih likova… Pri crtanju usporednih i okomitih pravaca moguće je koristiti se ravnalom i jednim ili dvama trokutima. MAT OŠ C.3.3. Služi se šestarom u crtanju i konstruiranju. Koristi se šestarom kao dijelom geometrijskoga pribora. Šestarom se služi u crtanju i prenošenju dužine određene duljine. Konstruira kružnicu. Crta pravokutnik i kvadrat određene duljine stranica. Konstruira kružnicu. Sadržaj: Crtanje i konstruiranje šestarom (kružnica, pravokutnik i kvadrat). Prenošenje dužine zadane duljine. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Cilj je ovoga ishoda osposobiti učenike za služenje šestarom. U crtanju pravokutnika i kvadrata učenik se šestarom koristi za prenošene duljine dužine pojedine stranice. MAT OŠ D.3.1. Procjenjuje, mjeri i crta dužine zadane duljine. Poznaje jedinične dužine za mjerenje dužine i njihov međusobni odnos u skupu brojeva do 1000 (kilometar, metar, decimetar, centimetar, milimetar). Imenuje i crta dužinu zadane duljine. Mjeri dužinu odgovarajućim mjernim instrumentom i zadanom mjernom jediničnom dužinom. Zapisuje duljinu dužine mjernim brojem i znakom mjerne jedinice. Duljinu dužine zapisuje matematičkim znakovima. Procjenjuje duljinu dužine (milimetar, centimetar, decimetar) i udaljenosti (metar, kilometar) odabirući optimalnu mjernu jedinicu. Računa s jedinicama za mjerenje dužine (u skupu brojeva do 1000). Prošireni sadržaji: Preračunava mjerne jedinice. Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom, Tjelesnom i zdravstvenom kulturom i Likovnom kulturom. Mjeri dužinu i crta dužine zadane duljine. Sadržaj: Procjena, mjerenje i crtanje dužine zadane duljine. Jedinice za mjerenje dužine (mm, cm, dm, m, km). Računanje s jedinicama za mjerenje dužine (u skupu brojeva do 1000). Prošireni sadržaj: Preračunavanje mjernih jedinica. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnih ishoda: Pri poučavanju je potrebno razlikovati pojam dužine i duljine kao njezina mjeriva svojstva (mjerimo dužinu kako bismo doznali njezinu duljinu). Učenici upoznaju standardne mjerne jedinice i njihove znakove. Jako je bitno osvijestiti veličinu tih standardnih jedinica pa se učenike potiče da rukama pokazuju dužinu od jednoga metra, decimetra, centimetra i milimetra. Mogu na svome tijelu pronaći neku veličinu za usporedbu koja im kasnije može pomoći u procjeni (povezati na primjer duljinu raširenoga palca i kažiprsta s decimetrom, minimalno mogući razmak palca i kažiprsta s milimetrom i slično). Kilometar im se može približiti nekim primjerom iz neposredne okoline. Duljinu dužine zapisivati matematičkim jezikom. Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, a razumna su očekivanja na vrlo dobroj razini. MAT OŠ D.3.2. Procjenjuje i mjeri masu tijela. Uočava masu kao svojstvo tijela. Uspoređuje mase tijela. Imenuje jedinice za mjerenje mase (gram, dekagram, kilogram, tona). Upoznaje različite vage i postupak vaganja. Procjenjuje i mjeri masu tijela te pravilno zapisuje dobivenu vrijednost (mjernim brojem i znakom jedinične veličine). Iskazuje odnose mjernih jedinica za masu. Računa s jedinicama za masu tijela (u skupu brojeva do 1000). Korelacija s Hrvatskim jezikom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom. Mjeri masu različitih predmeta digitalnom vagom zapisujući dobivenu vrijednost. Sadržaj: Procjena i mjerenje mase tijela. Uspoređivanje mase tijela. Mjerne jedinice za masu (g, dag, kg, t). Računanje s mjernim jedinicama za masu (u skupu brojeva do 1000). Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: U početku poučavanja na konkretima se uočavaju i uspoređuju nejednake mase (spoznati da (ne)jednake veličine predmeta ne moraju istim omjerom pratiti i masu). Nakon toga se imenuju mjerne jedinice za masu i razlikuju njihove vrijednosti (tona, kilogram, dekagram i gram), no neće se preračunavati. Učenici iskazuju odnose mjernih jedinica povezujući ih s tijelima jedinične mase. Koristiti se različitim vagama, a digitalnim vagama mjeriti cjelobrojnu masu (unaprijed odabrati predmete čija masa nije decimalni zapis). Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, a razumna su očekivanja na vrlo dobroj razini. MAT OŠ D.3.3. Određuje opseg likova. Opisuje opseg kao duljinu ruba bilo kojega geometrijskog lika. Mjeri duljinu dužine. Mjeri opseg neformalnim i formalnim načinima. Određuje opseg trokuta, pravokutnika i kvadrata kao zbroj duljina njihovih stranica. Procjenjuje i mjeri opseg lika objašnjavajući postupak. Korelacija s Hrvatskim jezikom i Tjelesnom i zdravstvenom kulturom. Mjeri opseg likova neformalnim načinima i povezuje opseg s duljinama pojedinih stranica. Sadržaj: Opseg trokuta, pravokutnika i kvadrata kao zbroj duljina stranica. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnih ishoda: U početku poučavanja učenici će mjeriti opseg neformalnim načinom: koristeći se koncem, vunom, papirnatim vrpcama… Učenike se navodi na zaključak da je opseg zbroj duljina svih stranica mnogokuta. Učenici mogu odrediti i opseg lika sastavljenoga od dvaju ili više likova poznatih učeniku, zaključivati o svojstvima dvaju ili više likova i sl. Duljina stranica zadanoga lika kojemu se mjeri opseg može se prenositi i šestarom na crtu. Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, a razumna su očekivanja na najvišoj razini. Pri određivanju opsega trokuta, pravokutnika i kvadrata kao zbroja duljina stranica ne rabi se formula za izračunavanje, a opseg se zapisuje malim slovom o (npr. o = 12 cm). MAT OŠ D.3.4. Procjenjuje i mjeri volumen tekućine. Primjenjuje pojam volumena (obujma, zapremnine) tekućine. Upoznaje i uspoređuje različite posude za čuvanje tekućine. Opisuje vezu između oblika i volumena tekućine. Procjenjuje i mjeri volumen tekućine prelijevanjem. Imenuje jedinice za mjerenje volumena tekućine (litra, decilitar). Korelacija s Hrvatskim jezikom. Izražava volumen tekućine standardnim jedinicama te uspoređuje volumene posuda. Sadržaj: Procjena i mjerenje volumena tekućine. Mjerne jedinice za volumen tekućine (litra, decilitar). Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: U početku je dobro uspoređivati volumen tekućine prelijevanjam iz jedne posude u drugu. Pri mjerenju volumena tekućine prvo treba osvijestiti da se prelijevanjam iz posude u posudu količina tekućine ne mijenja iako se njezin izgled (visina tekućine u posudi) mijenja. Nakon toga možemo odabrati neku posudu koja nam postaje mjerna jedinica i prelijevanjem tekućine mjeriti i uspoređivati različite količine tekućina u većim posudama. Učenici upoznaju standardne mjerne jedinice za mjerenje volumena tekućine. Prelijevanjem trebaju osvijestiti njihovu količinu, ali i računati s njima (osobito je korisno konkretima rješavati problemske zadatke). Obujam i zapremnina sinonimi su za volumen. Mjerna jedinice litra ima dva znaka: L i l. Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, a razumna su očekivanja na vrlo dobroj razini. MAT OŠ E.3.1. Služi se različitim prikazima podataka. Nabraja različite vrste prikaza podataka. Koristi se nazivima redak i stupac. Prikazuje podatke u tablicama i stupčastim dijagramima. Služi se različitim prikazima podataka. Prošireni sadržaji: Prikazuje podatke dobivene u razrednim projektima služeći se primjerenom tehnologijom. Korelacija s Hrvatskim jezikom, Informatikom i međupredmetnim temama Učiti kako učiti, Uporaba informacijsko-komunikacijske tehnologije, Poduzetništvo, Održivi razvoj i Građanski odgoj i obrazovanje. Prikazuje podatke u tablicama i dijagramima. Sadržaj: Prikazivanje podataka (tablice, stupčasti dijagrami). Prošireni sadržaji: Prikazuje podatke dobivene u razrednim projektima služeći se primjerenom tehnologijom. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Potrebno je na nastavi u različitim situacijama prikazivati podatke, npr. pri rješavanju problemskih situacija, a u poučavanju služiti se različitim prikazima podataka pri opisivanju, objašnjavanju (tumačiti
2. ih)ili predviđanju mogućih (vjerojatnih) događaja. Tablica kao reprezentativni oblik može se upotrebljavati u različitim predmetima i različitim područjima života, stoga je poželjno, služeći se tablicama, povezivati matematiku s njima. Važno je učenicima osvijestiti pojmove: stupac, redak, polje. Pri prikupljanju podataka potrebno je poticati učenike da ih prikazuju u tablicama i dijagramima, a također je važno poticati ih na čitanje podataka iz tablica i dijagrama. Posebno se ističe piktogram i stupčasti dijagram. Potrebno je odabrati odgovarajuće uređaje i programe primjerene učenicima i tehničkim mogućnostima škole. Izrada digitalnih sadržaja najčešće započinje izradom digitalnoga crteža; ako je moguće, koristiti se uređajima s dodirnom plohom kako bi učenici mogli crtati prstima ili olovkom. Predlaže se za početak i uporaba programa koji nude djelomično gotova rješenja. Potrebno je istražiti mogućnosti modernih multimedijskih online programa koji se mogu upotrebljavati u obrazovnu svrhu; izraditi prezentaciju, multimedijski plakat, kalendar, grafički prikaz podataka… Osnovna škola Matematika 4. razred – 140 sati godišnje Slika 5. Grafički prikaz organizacije predmetnoga kurikuluma u četvrtoj godini učenja Matematika na kraju 4. razreda osnovne škole učenik: Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost odgojno-obrazovni ishodi razrada ishoda odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti »dobar« na kraju razreda MAT OŠ A.4.1. Služi se prirodnim brojevima do milijun. Broji, čita, piše i uspoređuje brojeve do milijun. Navodi dekadske jedinice i opisuje njihove odnose. Prepoznaje mjesne vrijednosti pojedinih znamenaka. Koristi se višeznamenkastim brojevima. Korelacija s Hrvatskim jezikom i Prirodom i društvom. Povezuje brojeve do milijun s primjerima iz života te poznaje odnose među dekadskim jedinicama. Sadržaj: Skup prirodnih brojeva do milijun. Uspoređivanje brojeva do milijun. Dekadske jedinice i mjesna vrijednost znamenaka. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: U upoznavanju brojeva preporučuje se uporaba kartica s dekadskim jedinicama i tablice mjesnih vrijednosti. Posebnu pozornost posvetiti brojenju pri prijelazu desettisućice i stotisućice. MAT OŠ A.4.2. Pisano zbraja i oduzima u skupu prirodnih brojeva do milijun. Zbraja i oduzima brojeve do milijun. Primjenjuje odgovarajući matematički zapis pisanoga zbrajanja i oduzimanja. Primjenjuje svojstvo komutativnosti i vezu zbrajanja i oduzimanja. Imenuje članove računskih operacija. Rješava tekstualne zadatke. Pisano zbraja i oduzima u skupu brojeva do milijun uz povremene pogreške. Sadržaj: Pisano zbrajanje i oduzimanje u skupu prirodnih brojeva do milijun. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Pisano zbrajanje i oduzimanje u skupu brojeva do milijun temelji se na predznanju učenika o pisanome zbrajanju i oduzimanju u skupu brojeva do 1000. Treba se koristiti različitim situacijama, zadatcima i podatcima u kojima će se primjenjivati zbrajanje i oduzimanje. Cilj je ovoga ishoda usvojiti postupak pisanoga zbrajanja i oduzimanja do milijun, ali nije potrebno inzistirati na dugotrajnome računanju s velikim brojevima. MAT OŠ A.4.3. Pisano množi i dijeli dvoznamenkastim brojevima u skupu prirodnih brojeva do milijun. Množi i dijeli brojeve s 10 i 100. Procjenjuje djelomični količnik. Procjenjuje rezultat u zadatku prije postupka pisanoga računanja. Primjenjuje postupak pisanoga množenja i dijeljenja dvoznamenkastim brojem u različitim tipovima zadataka. Primjenjuje svojstva računskih operacija radi provjere rezultata. Pisano množi i dijeli dvoznamenkastim brojem. Sadržaj: Pisano množenje i dijeljenje dvoznamenkastim brojevima u skupu prirodnih brojeva do milijun. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Učenici dijeljenje brojeva zapisuju i kosom i ravnom crtom koju čitaju podijeljeno kako bi spoznali da se znak dijeljenja može prikazati i na druge načine (ne spominje se pojam razlomka). Pisano dijeljenje moguće je izvoditi na dva načina, na dulji način (s potpisivanjem djelomičnoga umnoška) ili na kraći način. Preporučuje se kraći, ako je primjeren mogućnostima učenika. Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, a razumna su očekivanja na vrlo dobroj razini. Cilj ovoga ishoda usvojiti je postupak pisanoga množenja i dijeljenja dvoznamenkastim brojem do milijun, ali nije potrebno inzistirati na dugotrajnome računanju s velikim brojevima. MAT OŠ A.4.4. Primjenjuje četiri računske operacije i odnose među brojevima u problemskim situacijama. Odabire računsku operaciju u pojedinome zadatku. Primjenjuje svojstva računskih operacija (komutativnost, asocijativnost i distributivnost). Provjerava rješenje primjenjujući veze među računskim operacijama. Izvodi više računskih operacija. Rješava problemske zadatke sa uporabom i bez uporabe zagrada. Procjenjuje rezultat. Upotrebljava nazive članova računskih operacija. Korelacija s međupredmetnim temama Osobni i socijalni razvoj, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Održivi razvoj i Građanski odgoj i obrazovanje. Primjenjuje različite strategije u rješavanju jednostavnih problemskih situacija. Sadržaj: Primjena računskih operacija i odnosa među brojevima u rješavanju problemskih situacija. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: U zadatcima s više računskih operacija ne treba pretjerivati s velikim brojevima jer težište je na redoslijedu izvođenja računskih operacija. Valja stvarati naviku procjene rezultata prije samoga računanja i osvijestiti važnost provjere rezultata vezom među računskim operacijama. Dobro bi bilo odabirati primjere zadataka u kojima se pojavljuju zagrade, a u kojima zagrade mijenjaju rezultat. Na primjer, u zadatku 543 – (423 + 28) primjena zagrada zaista mijenja rezultat u odnosu na zadatak u kojemu bismo zagradu izostavili. Učenici rješavaju i zadatke u kojima određuju trećine, četvrtine, petine i desetine nekoga broja. Izraze poput dvije trećine, četiri petine... potrebno je popratiti govorom i prikazati na različite načine (konkretima, crtežima i sl.). Računa u različitim tipovima zadataka (brojevni zadatci, tekstualni zadatci, problemski zadatci). Primjer: Tri su četvrtine jednoga sata ___ minuta. Na svim razinama učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata. Preporučuje se što češće rješavati problemske situacije, no pritom ne treba inzistirati na računanju s velikim brojevima. Nije potrebno inzistirati na dugotrajnome računanju s velikim brojevima. MAT OŠ B.4.1. Određuje vrijednost nepoznate veličine u jednakostima ili nejednakostima. Razlikuje jednakosti i nejednakosti. Koristi se slovom kao oznakom za nepoznati broj u jednakostima i nejednakostima. Računa vrijednost nepoznate veličine primjenjujući veze između računskih operacija. Korelacija s Informatikom. Određuje vrijednost nepoznate veličine primjenjujući veze između računskih operacija. Sadržaj: Određivanje vrijednosti nepoznate veličine u jednakostima ili nejednakostima. Slovo kao oznaka za broj. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: U 4. razredu ne upoznaje se sustavno linearna jednadžba ili nejednadžba, već se postavlja temelj za nju. To znači da primjeri moraju biti jednostavni i s jednom računskom operacijom, a nepoznati se član računa primjenom veze među računskim operacijama. Primjeri zadataka: Izračunaj nepoznati broj a u jednakosti 5871 + a = 7820. Izračunaj nepoznati faktor u jednakosti f · 65 = 975. Koji broj možeš zapisati umjesto b da vrijedi nejednakost 12 395 < b < 12 402? Odredi broj koji se dodaje broju 7654 kako bi se dobio broj 9802 te zapiši brojevnim izrazom. Nije potrebno inzistirati na dugotrajnome računanju s velikim brojevima. MAT OŠ C.4.1. Određuje i crta kut. Opisuje pojam kuta. Prepoznaje, uspoređuje i crta pravi, šiljasti i tupi kut. Imenuje vrh i krakove kuta. Prepoznaje i ističe točke koje (
3. ne)pripadaju kutu. Koristi se oznakom kuta (kut aVb) pazeći na orijentaciju (suprotno od kretanja kazaljki na satu). Prepoznaje i crta šiljasti, pravi i tupi kut te određuje (ne)pripadnost točke kutu. Sadržaj: Pravi, šiljasti i tupi kut. Crtanje kuta. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Česta je pogreška koja se pojavljuje pri usvajanju pojma kuta da učenici kutom smatraju samo mali dio unutar kružnoga luka kojim kut označavamo. MAT OŠ C.4.2. Razlikuje i opisuje trokute prema duljinama stranica te pravokutni trokut. Razlikuje i opisuje trokute prema duljinama stranica i dijeli ih na jednakostranične, raznostranične i jednakokračne trokute. Razlikuje i opisuje pravokutni trokut u odnosu na druge trokute. Razlikuje i imenuje jednakostranični, jednakokračni, raznostranični i pravokutni trokut. Sadržaj: Vrste trokuta prema duljini stranica (jednakostranični, raznostranični, jednakokračni). Pravokutni trokut. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Važno je uočiti da postoje različiti trokuti, a da ih prema duljinama njihovih stranica dijelimo na jednakostranične, raznostranične i jednakokračne trokute. Kad učenici upoznaju pravokutni trokut, treba im pokazati da raznostranični i jednakokračni trokuti mogu biti ujedno i pravokutni. Učenicima je dobro pokazati i složenije motive sastavljene od različitih vrsta trokuta na kojima ih prepoznaju. Različite vrste trokuta potrebno je prikazivati i prepoznavati u različitim položajima. MAT OŠ C.4.3. Opisuje i konstruira krug i njegove elemente. Opisuje i konstruira krug i njegove elemente (kružnica, polumjer i središte). Opisuje odnos kruga i kružnice. Prepoznaje polumjer i središte kruga i kružnice. Prepoznaje i navodi točke koje (ne)pripadaju krugu ili kružnici. Sadržaj: Krug i kružnica. Konstrukcija kruga i njegovih elemenata (kružnica, polumjer, središte). Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Kako bi učenici shvatili da je kružnica zakrivljena crta koja omeđuje krug, važno je koristiti se ilustracijama na kojima je unutrašnjost kruga obojena. Time se odmah uočava da je krug geometrijski lik, a kružnica rubna crta. MAT OŠ C.4.4. Crta i konstruira geometrijske likove. Geometrijskim priborom crta osnovne geometrijske likove (raznostranični i pravokutni trokut, pravokutnik i kvadrat). Konstruira jednakostranične, raznostranične i jednakokračne trokute. Crta pravokutnik, kvadrat i pravokutni trokut uz manju nesigurnost. Sadržaj: Crtanje geometrijskih likova (raznostranični i pravokutni trokut, pravokutnik i kvadrat). Konstruiranje geometrijskih likova (jednakostranične, raznostranične i jednakokračne trokute). Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: U ovome ishodu potrebno je obratiti pozornost na razvijanje motoričke vještine uporabe geometrijskoga pribora. Učenicima s motoričkim teškoćama bit će potrebno znatno više vremena, a time i vježbe da bi se vještina razvila. MAT OŠ C.4.5. Povezuje sve poznate geometrijske oblike. Označava vrhove, stranice i kutove trokuta te trokut zapisuje simbolima (∆ABC). Povezuje sve geometrijske pojmove u opisivanju geometrijskih objekata (vrhovi, strane, stranice, bridovi, kutovi). Korelacija s međupredmetnom temom Učiti kako učiti. Povezuje sve geometrijske pojmove u opisivanju geometrijskih objekata (vrhovi, plohe, stranice, bridovi, kutovi). Sadržaj: Povezivanje geometrijskih pojmova u opisivanju geometrijskih objekata (vrhovi, strane, stranice, bridovi, kutovi). Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: U 4. razredu važno je povezati sve do tada usvojene geometrijske pojmove. Upozoriti na često nepreciznu uporabu nekih matematičkih pojmova u svakodnevnome životu: »kocka« šećera, »kocka« za juhu, dresovi na »kockice« ili bilježnica na »kockice«. Upućivanjem na te očigledne i svakodnevne primjere izbjeći ćemo zbunjivanje učenika razlikom u izražavanju u školi i izvan nje. MAT OŠ D.4.1. Procjenjuje i mjeri volumen tekućine. Primjenjuje pojam volumena (obujma, zapremnine) tekućine. Upoznaje i uspoređuje različite posude za čuvanje tekućine. Opisuje vezu između oblika i volumena tekućine. Procjenjuje i mjeri volumen tekućine prelijevanjem. Imenuje jedinice za mjerenje volumena tekućine (litra, decilitar). Računa s mjernim jedinicama za volumen tekućine. Preračunava mjerne jedinice. Korelacija s Hrvatskim jezikom. Uspoređuje, procjenjuje i mjeri volumen tekućine različitim mjerama i u različitim posudama. Sadržaj: Procjena i mjerenje volumena tekućine. Računanje s mjernim jedinicama za volumen tekućine (litra, decilitar). Preračunavanje mjernih jedinica. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Upoznavanjem standardnih mjernih jedinica za mjerenje volumena tekućine učenici prelijevanjem trebaju osvijestiti njihovu količinu, ali i preračunavati ih i računati s njima (osobito je korisno konkretima rješavati problemske zadatke). Obujam i zapremnina sinonimi su za volumen. Mjerna jedinice litra ima dva znaka: L i l. Učenike je potrebno poticati na procjenjivanje rezultata na svim razinama, a razumna su očekivanja na vrlo dobroj razini. MAT OŠ D.4.2. Uspoređuje površine likova te ih mjeri jediničnim kvadratima. U ravnini uspoređuje likove različitih površina prema veličini dijela ravnine koju zauzimaju te tako upoznaje pojam površine. Mjeri površinu likova ucrtanih u kvadratnoj mreži prebrojavanjem kvadrata. Ucrtava u kvadratnu mrežu likove zadane površine. Mjeri površine pravokutnih likova prekrivanjem površine jediničnim kvadratom. Poznaje standardne mjere za površinu (centimetar kvadratni, decimetar kvadratni, metar kvadratni). Mjeri pravokutne površine u neposrednoj okolini. Prošireni sadržaji: Preračunava mjerne jedinice. Korelacija s Hrvatskim jezikom. Uspoređuje i mjeri površine likova ucrtanih u kvadratnoj mreži. Sadržaj: Mjerenje površine. Kvadratna mreža. Mjerne jedinice za površinu. Prošireni sadržaj: Preračunavanje mjernih jedinica. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Težište je ishoda na pojmu površine kao veličine dijela ravne plohe koji je lik zauzeo. U kvadratnoj mreži mogu se ucrtavati različiti likovi sastavljeni od jediničnih kvadrata i uspoređivati njihove površine. S učenicima se može izrezati više jediničnih kvadrata (nije nužno da im je stranica duga 1 cm ili 1 dm – važno je da za nas predstavljaju jedinični kvadrat) kojima se tada služimo u modeliranju i mjerenju. Modeliramo tako da učenicima damo problemski zadatak, na primjer da izrade lik površine 8 jediničnih kvadrata, što je, naravno, moguće napraviti na mnogo načina. Također mogu mjeriti površinu prekrivanjem lika jediničnim kvadratima. Na jednak način mogu mjeriti površine iz svoje neposredne okoline, na primjer površinu klupe ili knjige. Bilo bi dobro pokazati da dva lika iste površine mogu imati različite opsege, a to se može napraviti dobrim odabirom zadatka. Primjer problemskoga zadatka: Uzmite 12 jediničnih kvadrata. Slažite od njih različite pravokutnike i bilježite im površinu i opseg. Što primjećujete? Pri određivanju površine nikako se ne koristite formulom za izračunavanje, a površinu valja zapisati velikim slovom P (npr. P = 8 centimetara kvadratnih). MAT OŠ E.4.1. Provodi jednostavna istraživanja i analizira dobivene podatke. Osmišljava i provodi jednostavna istraživanja u svojoj neposrednoj okolini. Prikuplja podatke, razvrstava ih i prikazuje neformalno i formalno. Čita podatke iz tablica i jednostavnih dijagrama. Korelacija s Prirodom i društvom i međupredmetnim temama Uporaba informacijsko-komunikacijske tehnologije, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Zdravlje, Održivi razvoj i Građanski odgoj i obrazovanje. Provodi jednostavno istraživanje u kojemu podatke razvrstava prema zadanome kriteriju. Sadržaj: Prikupljanje, razvrstavanje i prikazivanje podataka (tablice, dijagrami). Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: U prikazivanjima stupčastim dijagramima poželjno je za koordinate početi rabiti pojam osi kako bi se učenici pripremili za više razrede (npr. količina snijega po danu u mjesecu siječnju: os dana u mjesecu i os visine snijega u centimetrima). Ovaj ishod može se ostvariti povezivanjem matematike sa sadržajima drugih predmeta, posebice s Prirodom i društvom. Učenici mogu istraživati problem koji ne mora biti matematički, ali će podatke upisivati i ucrtavati u tablice ili dijagrame. Možemo osmišljavati projekte u kojima će učenici prikupljati, razvrstavati i prikazivati podatke. Primjeri: Koliko se vremena posvećuje čitanju, a koliko gledanju televizije? Pratiti i bilježiti rezultate tijekom tjedan dana, a zatim ih objediniti, prikazati i donijeti zaključke. Pratiti rast biljke graha tijekom dva tjedna i bilježiti promjene… MAT OŠ E.4.2. Opisuje vjerojatnost događaja. U razgovoru iskazuje mogućnosti. Uspoređuje ishode riječima vjerojatniji, manje vjerojatan, najvjerojatniji. Korelacija s Hrvatskim jezikom, Prirodom i društvom i međupredmetnim temama Osobni i socijalni razvoj, Učiti kako učiti, Poduzetništvo, Zdravlje, Održivi razvoj i Građanski odgoj i obrazovanje. Navodi događaje koji su sigurni, mogući i nemogući. Sadržaj: Opisivanje vjerojatnosti događaja. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Učenici moraju razumjeti razliku između sigurnoga ishoda, mogućega ishoda i nemogućega ishoda. To možemo postići postavljanjem primjerenih pitanja i zadataka. Primjeri: 1. Ako je jutro oblačno, hoće li padati kiša? 2. Igra: Par – nepar. Razgovor o tome je li igra pravedna. 3. Dvanaest učenika između sebe podijeli brojeve od 1 do 12. Redom bacaju 2 kockice i određuju njihov zbroj. Prikazani zbroj omogućuje učeniku koji ima taj broj na kartici da se pomakne za jedno mjesto na tablici u kojoj je početno stajalište na 0, a cilj je doći do broja 10. Problemska pitanja: Koji zbroj nije moguće dobiti bacanjem kockica? (0, 1 i brojevi koji su veći od 12) Koji su zbrojevi vjerojatniji? Koji su zbrojevi najvjerojatniji? Je li igra pravedna? Osnovna škola Matematika 5. razred – 140 sati godišnje Slika 6. Grafički prikaz organizacije predmetnoga kurikuluma u petoj godini učenja Matematika na kraju 5. razreda osnovne škole učenik: Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost odgojno-obrazovni ishodi razrada ishoda odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti »dobar« na kraju razreda MAT OŠ A.5.1. Brojevnim izrazom u skupu prirodnih brojeva s nulom modelira problemsku situaciju. Čita i zapisuje prirodne brojeve uključujući brojeve veće od milijun. Čita, zapisuje i tumači znakove <, >, ≤, ≥, =, ≠ pri uspoređivanju u skupu prirodnih brojeva s nulom. Koristi se produženom nejednakošću. Zbraja, oduzima, množi (dekadsku jedinicu prikazuje u obliku potencije baze 10, povezuje umnožak dvaju jednakih prirodnih brojeva s kvadratom prirodnoga broja) i dijeli u skupu prirodnih brojeva s nulom primjenjujući svojstva računskih operacija. Prepoznaje kvadrate prirodnih brojeva do 10. Pridružuje prirodne brojeve točkama brojevnoga pravca i očitava ih. Mentalno računa i procjenjuje rezultat kad je god moguće. Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema. Računa vrijednost jednostavnih algebarskih izraza. Računa brojevne izraze primjenjujući svojstva računskih operacija. Skupovnim zapisom prikazuje rješenja jednostavne nejednadžbe u skupu prirodnih brojeva s nulom. Sadržaj: Skup prirodnih brojeva. Skup prirodnih brojeva i brojevni pravac. Računske operacije u skupu prirodnih brojeva. Uspoređivanje u skupu prirodnih brojeva. Potencija baze 10 s prirodnim eksponentom. Kvadrat prirodnoga broja. Vrijednost jednostavnoga algebarskog izraza u skupu prirodnih brojeva. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Smještati prirodne brojeve na brojevni pravac sa zadanom jediničnom dužinom, smještati veće prirodne brojeve na brojevni pravac. Ne uvoditi pojmove ishodište i jedinična točka, već samo jedinična dužina. Računati vrijednosti jednostavnijih algebarskih izraza za zadane vrijednosti. Zbrajati i oduzimati istoimene monome. Ukazati da se u matematičkim izrazima znak množenja katkad izostavlja, ali da se podrazumijeva. Računsku operaciju dijeljenja zapisivati na različite načine (znakovima :, / i razlomačkom crtom). Povezati umnožak dvaju jednakih prirodnih brojeva s pojmom kvadrata prirodnoga broja, ali ne uvoditi pojmove baza i eksponent. Matematičkim zapisom prikazivati skup prirodnih brojeva s nulom. Stalno procjenjivati i preispitivati smislenost rezultata. Rješavati matematičke mozgalice, zbrajaljke, premetaljke, brojevne nizove, magične kvadrate, sudoku, zadatke sa šibicama i slično. MAT OŠ A.5.2. Rastavlja broj na proste faktore i primjenjuje djeljivost prirodnih brojeva. Barata pojmovima djeljivost, djelitelj, višekratnik, biti djeljiv, prosti broj, složeni broj. Primjenjuje djeljivost brojevima 2, 3, 5, 9 i 10. Rastavlja broj na proste faktore i višestruki umnožak istih faktora zapisuje u obliku potencije. Primjenjuje djeljivost i tumači postupak koji provodi. Prošireni sadržaji: Ispituje djeljivost umnoška, zbroja i razlike. Određuje djelitelje i višekratnike prirodnih brojeva. U rastavu na proste faktore povezuje višestruki umnožak istih faktora s potencijom. Sadržaj: Djeljivost prirodnih brojeva. Pravila djeljivosti prirodnih brojeva. Rastavljanje broja na proste faktore. Prošireni sadržaji: Djeljivost umnoška, zbroja i razlike. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Ne uvoditi pojmove baza i eksponent. MAT OŠ A.5.3. Povezuje i primjenjuje različite prikaze razlomaka. Povezuje slikovni prikaz razlomka s brojevnim zapisom i obratno. Zapisuje i tumači razlomak povezujući ga s dijeljenjem. Prikazuje razlomke na brojevnome pravcu. Povezuje različite brojevne zapise nepravih razlomaka, mješovitih brojeva i prirodnih brojeva. Opisuje i određuje udio u skupu istovrsnih podataka. Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema. Brojevni zapis razlomka prikazuje slikovnim prikazom i obratno. Koristeći se predloženom razdiobom, prikazuje i očitava razlomke na brojevnome pravcu. Sadržaj: Prikaz razlomka. Zapis razlomkom. Nepravi razlomci i mješoviti brojevi. Razlomci i brojevni pravac. Veza razlomka s nazivnikom 100 i postotka. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Na brojevnome pravcu prikazivati razlomke s jednoznamenkastim nazivnikom. Ne uvoditi pojmove ishodište i jedinična točka, već samo jedinična dužina. Pri povezivanju različitih brojevnih zapisa razlomaka koristiti se crtežom, modelima, brojevnim pravcem. Naglasiti ekvivalentnost razlomaka jednakih vrijednosti, a različitoga zapisa (prošireni i skraćeni razlomci bez računske procedure). Uvesti postotak kao oznaku za razlomak s nazivnikom 100, promil kao oznaku za razlomak s nazivnikom 1000. Pronalaziti primjere iz okoline u kojima se u kontekstu spominju postotci i promili. Igra: Dan – noć (brojnik – nazivnik), slagalice i slično. Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima, edukativnim igrama. MAT OŠ A.5.4. Povezuje i primjenjuje ekvivalentne zapise decimalnoga broja. Opisuje i zapisuje decimalne brojeve. Opisuje, predočava i primjenjuje jednakost među različitim zapisima brojeva (prirodnih brojeva, decimalnih brojeva, decimalnih razlomaka, razlomaka, mješovitih brojeva, postotaka i promila). Povezuje različite zapise brojeva (prirodnih brojeva, decimalnih brojeva, decimalnih razlomaka, razlomaka, mješovitih brojeva, postotaka i promila) uz obrazloženje. Otkriva beskonačne decimalne brojeve. Odabire odgovarajući oblik zapisa broja u problemu. Opisuje i određuje udio u skupu istovrsnih podataka. Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema. Korelacija s Geografijom i Prirodom. Sadržaj: Dekadski razlomak i decimalni zapis. Veza zapisa razlomka i decimalnoga broja. Beskonačni decimalni broj. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Poticati učenika da mentalnim računanjem prelazi između različitih zapisa brojeva. Naglasiti da neke razlomke nije korisno pretvarati u decimalni zapis jer imaju beskonačno mnogo decimala. MAT OŠ A.5.5. Računa s decimalnim brojevima. Zbraja, oduzima, množi (povezuje umnožak dvaju jednakih decimalnih brojeva s kvadratom decimalnoga broja) i dijeli decimalne brojeve primjenjujući svojstva računskih operacija. Čita, zapisuje i tumači znakove <, >, ≤, ≥, =, ≠ pri uspoređivanju decimalnih brojeva. Otkriva beskonačne decimalne brojeve. Pridružuje točke pravca decimalnim brojevima i očitava ih. Računa vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza. Rješava problemsku situaciju. Korelacija s Geografijom i Prirodom. Brojevnim izrazom opisuje jednostavnu problemsku situaciju koju rješava uspoređujući rezultat s osobnom procjenom. Očitava decimalne brojeve na brojevnome pravcu. Sadržaj: Računske operacije s decimalnim brojevima. Svojstva računskih operacija s decimalnim brojevima. Uspoređivanje decimalnih brojeva. Decimalni brojevi i brojevni pravac. Vrijednost jednostavnoga algebarskog izraza za zadane decimalne i/ili prirodne brojeve. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Mentalno računati i procjenjivati rezultat kad je god moguće. Istaknuti da decimalna točka u matematici odgovara decimalnomu zarezu u nekim područjima. Ne uvoditi pojmove ishodište i jedinična točka, već samo jedinična dužina. Računati vrijednosti jednostavnih algebarskih izraza za zadane vrijednosti. Zbrajati i oduzimati istoimene monome. Potrebno je procjenjivati i preispitivati smislenost rezultata. Rješavati matematičke mozgalice, zbrajaljke, premetaljke, brojevne nizove, magične kvadrate i slično. MAT OŠ A.5.6. Zaokružuje prirodne i decimalne brojeve. Primjenjuje pravila zaokruživanja, smisleno zaokružuje prirodne i decimalne brojeve prema uvjetima zadatka. Uočava pogrešku pri zaokruživanju i procjenjuje njezin utjecaj na rješenje. Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema. Korelacija s Geografijom, Poduzetništvom, Osobnim i socijalnim razvojem. Zaokružuje prirodne i decimalne brojeve uz opisivanje postupka. Sadržaj: Decimalni brojevi. Zaokruživanje decimalnih brojeva. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Primjenjivati zaokruživanje u služenju novcem. MAT OŠ B.5.1. Rješava i primjenjuje linearnu jednadžbu. Prepoznaje nepoznanicu u problemskoj situaciji. Problemsku situaciju zapisuje linearnom jednadžbom. Rješava linearnu jednadžbu oblika ax = b, gdje su a i b prirodni ili decimalni brojevi, provjeravajući točnost dobivenoga rješenja. Izražava nepoznatu veličinu iz jednostavne linearne jednadžbe koristeći se vezom među računskim operacijama. Koristi se opsegom i površinom geometrijskih likova za računanje duljina njihovih stranica. Korelacija s Geografijom i Prirodom. Samostalno rješava jednostavnu linearnu jednadžbu procjenjujući rezultat. Sadržaj: Linearna jednadžba. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Učeniku postaviti jednostavnu linearnu jednadžbu oblika: x + a = b, x – a = b, a – x = b, a · x = b, a : x = b, gdje su a i b prirodni ili nenegativni racionalni brojevi (decimalni zapis). Za sve razine pokušati povezati zadanu linearnu jednadžbu s odgovarajućim problemskim zadatkom – matematička priča. Izražavati nepoznanicu koristeći se vezom među računskim operacijama, npr.: ako je a · x = b, tada je x = b : a, gdje su a i b prirodni ili nenegativni racionalni brojevi (decimalni zapis). MAT OŠ B.5.2. Prikazuje skupove i primjenjuje odnose među njima za prikaz rješenja problema. Oblikuje i prikazuje skupove (brojeva, podataka) i njihove odnose s pomoću Vennovih dijagrama (presjek, unija, podskup). Određuje broj elemenata skupa. Prepoznaje prazan skup. Koristi se matematičkim simbolima u zapisu skupova i njihovih odnosa. Skupovnim zapisom prikazuje rješenja jednostavne nejednadžbe u skupu prirodnih brojeva s nulom. Prošireni sadržaji: Ispisuje i prebrojava elemente skupa u kombinatornim zadatcima. Samostalno povezuje različite zapise skupova. Opisuje presjek i uniju skupova točaka u ravnini. Sadržaj: Skup. Vennovi dijagrami. Presjek skupova. Unija skupova. Prošireni sadržaj: Elementi skupa u kombinatornim zadatcima. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Pri obradi skupova točaka u ravnini upoznati učenike s presjekom dvaju skupova točaka (trokuta, kutova i slično) i unijom dvaju ili više skupova točaka. Moguća istraživanja primjene Vennovih dijagrama u drugim područjima, npr. narječja hrvatskoga jezika, obilježja životinja i sl. MAT OŠ C.5.1. Opisuje skupove točaka u ravnini te analizira i primjenjuje njihova svojstva i odnose. Služeći se geometrijskim priborom, matematičkim jezikom proučava, opisuje, definira, skicira, crta i označava skupove točaka u ravnini (točke, pravci, polupravci, dužine, kutovi) i njihove međusobne odnose. Opisuje sukladnost dužina i kutova. Crta usporedne i okomite pravce, susjedne i vršne kutove te kutove uz presječnicu usporednih pravaca. Analizira kutove s usporednim kracima. Opisuje i prikazuje međusobne odnose skupova točaka u ravnini, sukladnost dužina i kutova matematičkim jezikom. Crta vršne i susjedne kutove. Prepoznaje vrste kutova, od šiljastoga do punoga. Konstruira i definira simetralu dužine, opisuje i primjenjuje njezina svojstva. Korelacija s Geografijom i Prirodom. Sadržaj: Skupovi točaka u ravnini: točka, pravac, polupravac, dužina, kut. Vrste kutova. Sukladne dužine. Sukladni kutovi. Simetrala dužine. Kutovi uz presječnicu usporednih pravaca. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Poticati grafomotoriku učenika. Posebno precizno crtati ili konstruirati usporedne i okomite pravce uz označavanje i zapisivanje odnosa matematičkim jezikom. Pri obradi skupova točaka u ravnini upoznati učenike s presjekom dvaju skupova točaka (trokuta, kutova i slično) i unijom dvaju ili više skupova točaka. Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima, edukativnim igrama. Ishod C.5.1. preduvjet je za ostvarenje ishoda C.5.3. MAT OŠ C.5.2. Opisuje i crta /konstruira geometrijske likove te stvara motive koristeći se njima. Precizno i uredno crta/konstruira, skicira geometrijske likove (kvadrat, pravokutnik, trokut, kružnicu, krug i njegove dijelove). Opisuje trokut, kvadrat i pravokutnik (vrhovi, stranice, dijagonale i njihovi odnosi, kutovi). Definira kružnicu i krug te opisuje njihove elemente (polumjer, promjer, tetiva). Opisuje i crta dijelove kruga (kružni isječak, kružni odsječak, kružni vijenac). Korelacija s Geografijom, Prirodom i Tehničkom kulturom. Precizno i uredno konstruira kružnicu, krug, jednakostranični i jednakokračni trokut. Definira kružnicu, krug, opisuje polumjer i promjer. Sadržaj: Konstrukcija kvadrata. Konstrukcija pravokutnika. Konstrukcija jednakostraničnoga i jednakokračnoga trokuta. Konstrukcija kružnice i kruga. Dijelovi kružnice i kruga. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Konstruirati okomicu primjenom svojstva simetrale dužine. Može se prikazivati presjek ili unija dvaju ili više geometrijskih likova i stvarati motive. Upotrebljavajući stvarne materijale, rezati, docrtavati, dopunjavati, sastavljati i rastavljati ravninske oblike sastavljene od trokuta i četverokuta. Može se upotrijebiti i tangram. Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima, edukativnim igrama. MAT OŠ C.5.3. Osnosimetrično i centralnosimetrično preslikava skupove točaka u ravnini. Osnosimetrično i centralnosimetrično preslikava skupove točaka u ravnini (točku, dužinu, pravac, trokut, četverokut, krug i kružnicu). Prepoznaje osnosimetrični/ centralnosimetrični lik i određuje os/centar simetrije. Korelacija s Informatikom. Osnosimetrično i centralnosimetrično preslikava skupove točaka u ravnini (točku, dužinu, trokut, četverokut, krug i kružnicu). Sadržaj: Osna simetrija. Centralna simetrija. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Služeći se stvarnim materijalima, rezati, docrtavati, dopunjavati, sastavljati i rastavljati osnosimetrične i centralnosimetrične slike. Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima, edukativnim igrama. Ishod C.5.1. preduvjet je za ostvarenje ishoda C.5.3. MAT OŠ D.5.1. Mjeri i crta kutove, određuje mjere susjednih i vršnih kutova. Mjeri i crta kutove s pomoću kutomjera. Klasificira kutove od šiljastoga do punoga. Računa mjeru kuta u stupnjevima i minutama te crta kutove zadane svojom mjerom. Opisuje susjedne (sukute) i vršne kutove. Određuje mjere susjednih i vršnih kutova. Mjeri i crta kutove objašnjavajući postupak. Klasificira kutove. Sadržaj: Mjera kuta. Klasifikacija kutova. Susjedni kutovi. Vršni kutovi. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima, edukativnim igrama. MAT OŠ D.5.2. Odabire i preračunava odgovarajuće mjerne jedinice. Preračunava mjerne jedinice za duljinu (km, m, dm, cm, mm), masu (t, kg, dag, g, mg), vrijeme (s, min, h, dan, tjedan, mjesec, godina, stoljeće, desetljeće, tisućljeće), volumen tekućine (hl, l, dl,
4. ml)i primjenjuje ih pri rješavanju problema. Korelacija s Geografijom, Prirodom, Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi). Preračunava mjerne jedinice za duljinu (km), masu (t, kg, g), vrijeme (tjedan, mjesec, godina), volumen tekućine (l,
5. dl)povezujući ih s primjerima iz okoline. Sadržaj: Mjerne jedinice za duljinu, masu, vrijeme i volumen tekućine. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Volumen tekućine preračunavati u zadatcima bliskima učenikovu iskustvu. MAT OŠ D.5.3. Primjenjuje računanje s novcem. Računa s novcem u problemskoj situaciji. Povezuje pojam jedinične cijene s cijenom proizvoda i usluga. Poznaje pojam valute (euro i još jedna valuta iz okružja) i tečajne liste. Preračunava jednu valutu u drugu. Korelacija s Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi), međupredmetnim temama Poduzetništvo, Osobni i socijalni razvoj. Uz prethodnu procjenu povezuje pojam jedinične cijene s cijenom proizvoda i usluga. Preračunava jednu valutu u drugu. Sadržaj: Novac i računanje s novcem. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Ovim se ishodom ne provjerava tehnika računanja, nego učenikovo logičko razmišljanje i sposobnost analize problema. Primjer jednostavne situacije: kupnja, štednja, džeparac, kućni budžet. Istražiti i upoznati različite valute, tečajnu listu. Pri računanju zaokruživati rezultat na dvije decimale. Istražiti povijesne crtice o novcu. Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima, edukativnim igrama. MAT OŠ D.5.4. Računa i primjenjuje opseg i površinu geometrijskih likova. Opisuje i računa opseg geometrijskoga lika ili geometrijskih oblika sastavljenih od osnovnih geometrijskih likova (kvadrata, pravokutnika, trokuta). Opisuje i računa površinu kvadrata i pravokutnika. Otkriva i obrazlaže formule za opseg i površinu. Povezuje umnožak dvaju jednakih brojeva s pojmom kvadrata broja i mjernom jedinicom za površinu. Poznaje mjerne jedinice za površinu (kilometar kvadratni, metar kvadratni, decimetar kvadratni, centimetar kvadratni, milimetar kvadratni). Uz prethodnu procjenu računa opseg (kvadrata, pravokutnika, trokuta) i površinu (kvadrata i pravokutnika). Otkriva i obrazlaže formule za opseg (kvadrata, pravokutnika, trokuta) i površinu (kvadrata i pravokutnika). Sadržaj: Površina i opseg kvadrata i pravokutnika. Opseg trokuta. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Uvesti znakove za mjerne jedinice površine bez preračunavanja. Slagati slike od dijelova tangrama, mjeriti potrebne dimenzije likova i računati njihov opseg. Procjenjivati. Rješavati zadatke sadržajem povezane s učenikovom okolinom i poticati ih da stvaraju crteže sastavljene od geometrijskih likova te računaju njihove opsege i površine. MAT OŠ D.5.5. Računa i primjenjuje volumen kocke i kvadra. Objašnjava volumen kocke i kvadra kao broj istovrsnih jediničnih kocaka od kojih je sastavljen. Otkriva i obrazlaže formulu za volumen kocke i kvadra. Procjenjuje i računa volumen kocke i kvadra u problemskim situacijama. Povezuje umnožak triju jednakih prirodnih brojeva s pojmom kuba prirodnoga broja i mjernom jedinicom za volumen. Poznaje mjerne jedinice za volumen (metar kubni, decimetar kubni, centimetar kubni). Slaže tijelo zadanoga volumena od jediničnih kocaka. Određuje volumen kocke koja je izgrađena od jediničnih kocaka. Sadržaj: Kocka, kvadar. Volumen kocke i kvadra. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Uvesti znakove za mjerne jedinice volumena bez preračunavanja. Na prikazu geometrijskoga tijela u ravnini, izgrađenoga od jediničnih kocaka, nisu potpuno uočljive sve jedinične kocke. Procjenjivati. Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima, edukativnim igrama. MAT OŠ E.5.1. Barata podacima prikazanim na različite načine. Povezuje, uspoređuje i tumači podatke prikazane tablicama, slikama, listama te različitim grafovima i dijagramima prikazanima u prvome kvadrantu (koordinatnoga sustava u ravnini). Na vodoravnu os nanosi obilježja skupa podataka, a na okomitu broj elemenata skupa s danim obilježjem ili obratno. Odgovara na pitanja koja nadilaze izravno čitanje podataka (npr. računa s grafički prikazanim podatcima). Prošireni sadržaj: Računa aritmetičku sredinu brojčanih podataka. Korelacija s Geografijom, Prirodom, Hrvatskim jezikom (stručni tekstovi), međupredmetnim temama Poduzetništvo, Osobni i socijalni razvoj i Zdravlje. Tumači prikaz podataka tablicama, slikama, listama te različitim grafovima i dijagramima. Sadržaj: Grafovi i dijagrami. Crtanje grafa ili dijagrama. Očitavanje grafa i dijagrama. Prošireni sadržaj: Aritmetička sredina. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Iz zadanoga prikaza odrediti skup objekata, obilježja skupa, broj elemenata skupa s danim obilježjem. Ovaj bi ishod bilo korisno ostvariti provođenjem stvarnih istraživanja u nekome razdoblju (natalitet, mortalitet, padaline, zdrava prehrana, fizičko i mentalno zdravlje, potrošnja energije, hrane...) što omogućuje integriranu nastavu sa sadržajima predmeta Geografija i Priroda. Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima, edukativnim igrama. Osnovna škola Matematika 6. razred – 140 sati godišnje Slika 7. Grafički prikaz organizacije predmetnoga kurikuluma u šestoj godini učenja Matematika na kraju 6. razreda osnovne škole učenik: Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost odgojno-obrazovni ishodi razrada ishoda odgojno-obrazovni ishodi na razini usvojenosti »dobar« na kraju razreda MAT OŠ A.6.1. Računa najmanji zajednički višekratnik i primjenjuje svojstva djeljivosti prirodnih brojeva. Pronalazi zajedničke djelitelje, najveći zajednički djelitelj, zajedničke višekratnike, najmanji zajednički višekratnik dvaju i više prirodnih brojeva. Primjenjuje svojstva djeljivosti umnoška prirodnih brojeva. Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema. Prošireni sadržaji: Opisuje i primjenjuje svojstvo relativno prostih brojeva. Računa najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik dvaju ili više brojeva. Sadržaj: Najmanji zajednički višekratnik. Najveći zajednički djelitelj. Svojstva djeljivosti umnoška prirodnih brojeva. Prošireni sadržaj: Svojstvo relativno prostih brojeva. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Moguća istraživanja: savršeni brojevi, prijateljski brojevi… MAT OŠ A.6.2. Proširuje i skraćuje razlomke te primjenjuje postupak svođenja na zajednički nazivnik. Proširuje i skraćuje razlomke. Svodi razlomke na zajednički nazivnik i najmanji zajednički nazivnik. Te postupke provodi računski uz obrazloženje. Tumači dobiveno rješenje u kontekstu problema. Skraćuje razlomak do neskrativoga razlomka. Svodi razlomke na najmanji zajednički nazivnik. Sadržaj: Proširivanje razlomaka. Skraćivanje razlomaka. Svođenje razlomka na zajednički nazivnik. Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda: Pri uvođenju postupka proširivanja i skraćivanja razlomaka te svođenja na zajednički nazivnik koristiti se slikovnim prikazom postupaka. Nazivnici ne trebaju biti veliki brojevi. Ravnopravno uključiti prirodne i mješovite brojeve te decimalne zapise racionalnih brojeva. MAT OŠ A.6.3. Primjenjuje